SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
HÀ NỘI Năm học: 2015 - 2016
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 12/6/2015
Thời gian làm bài: 150 phút
( Không kể thời gian giao đề )

Bài I ( 2 điểm )

1/ Giải phương trình: \( x-\sqrt{x-8}-3\sqrt{x}+1=0 \)

2/ Giải hệ phương trình: \( \left\{\begin{matrix}
x^2+y^2=5\\
x^3+2y^3=10x-10y
\end{matrix}\right. \)

Bài II ( 2,5 điểm )

1/ Cho số nguyên dương n thỏa mãn n và 10 là 2 số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh ( n4 - 1 ) chia hết cho 40.

2/ Tìm tất cả các số nguyên tố p và và các số nguyên dương x, y thỏa mãn:

\( \left\{\begin{matrix} p-1=2x(x+2)\\ p^2-1=2y(y+2) \end{matrix}\right. \)

3/ Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại các số nguyên duong x, y, z

thỏa mãn: x3 + y3 + z3 = nx2 y2 z2

Bài III ( 3 điểm )

Cho ba số thực dương a ,b , c thõa mãn ( a+ b ) ( b + c ) ( c+a ) =1.

Chứng minh: \( ab+bc+ca\leq \cfrac{3}{4} \)

Bài IV ( 1 điểm )

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC cùng đi qua điểm H. Gọi Q là điểm bất kì trên cung nhỏ BC ( Q khác B, Q khác C ). Gọi E, F theo thứ tự là điểm đối xứng của Q qua các đường thẳng AB và AC.

1/ Chứng minh: MH . MA = MP.MN

2/ Chứng minh ba điểm E, H, F thẳng hàng.

3/ Gọi J là giao điểm của QE và AB, I là giao điểm của QF và AC. Tìm vị trí của điểm Q trên cung nhỏ BC để \( \left ( \frac{AB}{QJ}+\frac{AC}{QI} \right ) \) nhỏ nhất.

Bài V ( 1 điểm )

Chứng minh tồn tại các số nguyên a, b, c sao cho \( 0<\left | a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3} \right |<\cfrac{1}{1000} \)

------------------------------ HẾT ------------------------------------