SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
TP. HỒ CHÍ MINH Năm học: 2015 - 2016
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 12/6/2015
Thời gian làm bài: 150 phút
( Không kể thời gian giao đề )

Câu 1. (1,5 điểm)
Cho hai số thực a, b thỏa điều kiện a.b = 1, a + b ≠ 0. Tính giá trị của biểu thức:

\( P=\cfrac{1}{\left ( a+b \right )^{3}}\left ( \cfrac{1}{a^3}+\cfrac{1}{b^3} \right )+\cfrac{3}{\left ( a+b \right )^4}\left ( \cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2} \right )+\cfrac{6}{\left ( a+b \right )^5}\left ( \cfrac{1}{a} +\cfrac{1}{b}\right ) \)

Câu 2. (2,5 điểm)

a) Giải phương trình: \( 2x^2+x+3=3x\sqrt{x+3} \)

b) Chứng minh rằng: \( abc\left ( a^3-b^3 \right )\left ( b^3-c^3 \right )\left ( c^3-a^3 \right )\vdots 7 \) với mọi số nguyên a , b ,c

Câu 3. (2 điểm)
Cho hình bình hành ABCD. Đường thẳng qua C vuông góc với CD cắt đường thẳng qua A vuông góc với BD tại F. Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt đường trung trực của AC tại E. Hai đường thẳng BC và EF cắt nhau tại K. Tính tỉ số \( \cfrac{KE}{KF} \).

Câu 4. (1 điểm)
Cho hai số dương A,B thỏa mãn điều kiện: A + B ≤ 1

Chứng minh rằng: \( a^2-\cfrac{3}{4a}-\cfrac{a}{b}\leqslant -\cfrac{9}{4} \)

Câu 5. (2 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi Mlà trung điểm của cạnh BCvà N là điểm đối xứng của M qua O. Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại D. Kẻ đường kính AE. Chứng minh rằng:

a) Chứng minh BA.BC = 2BD.BE

b) CD đi qua trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC.

Câu 6. (1 điểm)

Mười vận động viên tham gia cuộc thi đấu quần vợt. Cứ hai người trong họ chơi với nhau đúng một trận. Người thứ nhất thắng x1 trận và thua y1 trận, người thứ hai thắng x2 trận và thua y2 trận, ..., người thứ mười thắng x10 trận và thua y10 trận. Biết rằng trong một trận đấu quần vợt không có kết quả hòa. Chứng minh rằng:

\( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{10}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+...+y_{10}^{2} \)

--------------------- HẾT ----------------------------