SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THỪA THIÊN HUẾ

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học: 2015 - 2016
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 9/6/2015
Thời gian làm bài: 150 phút
( Không kể thời gian giao đề )

ĐỀ:

Câu 1 ( 1,5 điểm )

Giải phương trình: \( 2015\sqrt{2015x-2014}+\sqrt{2016x-2015}=2016 \)

Câu 2 ( 1,5 điểm )

Cho phương trình: ( x - 2) (x2 - x ) + ( 4m + 1 )x -8m -2 =0 ( x là ẩn số ). Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện: \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=11 \)

Câu 3 ( 2 điểm )

a/ Giải hệ phương trình: \( \left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^2+x+y=\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )\\
\left ( \cfrac{x}{y+1} \right )^2+\left ( \cfrac{y}{x+1} \right )^2=1
\end{matrix}\right. \)

b/ Cho các số dương x , y thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2 và x2 + y2 + z2 = 2.
Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x , y, z:

\[ P=x\sqrt{\cfrac{\left ( 1+y^2 \right )\left ( 1+z^2 \right )}{1+x^2}}+y\sqrt{\cfrac{\left ( 1+z^2 \right )\left ( 1+x^2 \right )}{1+y^2}}+z\sqrt{\cfrac{\left ( 1+x^2 \right )\left ( 1+y^2 \right )}{1+z^2}} \]

Câu 4 ( 3 điểm )

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Giả sử B, C có định và A đi động trên đường tròn sao cho AB < BC và AC < BC. Đường trung trực của đoạn thẳng AB cắt AC và BC lần lượt tại P và Q. Đường trung trực của đoạn thẳng AC cắt AB và BC lần lượt tại M và N.

a/ Chứng minh rằng OM.ON = R2.

b/ Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.

c/ Giả sử hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN và CPQ cắt nhau tại S và T. Gọi H là hình chiếu của B lên đường thẳng ST. Chứng minh H chạy trên một đường tròn cố định khi A di động.

Câu 5 ( 2 điểm )

a/ Cho a, b là hai số thay đổi thão mãn các điều kiện a > 0, a + b ≥ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\( A=\cfrac{8a^2+b}{4a}+b^2 \)

b/ Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn:

x4 - 2x3 + 6x2 - 4y2 - 32x + 4y + 39 = 0

---------------------- HẾT -------------------------