ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015

MÔN THI: TOÁN(VÒNG II)
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu I. (3 điểm)

1) Với a,b,c là các số thực thỏa mãn: \[ (3a+3b+3c)^3=24+(3a+b-c)^3+(3b+c-a)^3+(3c+a-b)^3 \]


Chứng minh rằng:  ( a + 2b ) ( b + 2c ) ( c + 2a ) = 1

2) Giải hệ phương trình: \( \left\{\begin{matrix}
2x+2y+xy=5\\
27(x+y)+y^3+7=26x^3+27x^2+9x
\end{matrix}\right. \)

Câu II. (3 điểm)

1) Tìm số tự nhiên n để n + 5 và n +30 đều là số chính phương ( số chính phương là bình phương của một số nguyên)

2) Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: \( 1+\sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y} \)

3) Giả sử x, y, z là các số thực lớn hơn 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\[ P=\frac{x}{\sqrt{y+z-4}}+\frac{y}{\sqrt{z+x-4}}+\frac{z}{\sqrt{x+y-4}} \]

Câu III.(3 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn không cân với AB < AC.Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC.Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên đoạn AM. Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN = 2MH

1) Chứng minh rằng BN = AC

2) Gọi Q là điểm đối xứng với A qua N .Đường thẳng AC cắt BQ tại D. Chứng minh rằng bốn điểm B, D, N, C cùng thuộc một đường tròn,gọi đường tròn này là (O).

3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD cắt ( O) tại G khác D. Chứng minh rằng NG // BC.

Câu IV.(1 điểm)
Ký hiệu S là tập hợp gồm 2015 điểm phân biệt trên một mặt phẳng.Giả sử tất cả các điểm của S không cùng nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng có ít nhất 2015 đường thẳng phân biệt mà mỗi đường thẳng đi qua ít nhất hai điểm của S.


------------------ HẾT ---------------------