SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC GIANG
Năm học 2017-2018
Môn thi: TOÁN
Thời gian 150 phút
Ngày thi: 7/6/2017

ĐỀ

Câu 1. ( 5 điểm)

1) Cho biểu thức: \( A= \left ( \cfrac{x\sqrt{x} +x - 2 }{x - 1} - \cfrac{\sqrt{x}+2 }{x +3\sqrt{x} + 2} \right ) . \cfrac{\sqrt{x}-1}{2x+\sqrt{x} - 3} \) , với \( x≥ 0 ; x ≠ 1 \)

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị biểu thức A khi \( \cfrac{x}{4}= \sqrt{ \cfrac{1009+\sqrt{2017}}{2}} - \sqrt{\cfrac{1009- \sqrt{2017}}{2}} \)

2) Cho phương trình \( x^2 -2x -2m-1 = 0 \) (1) , ( với x là ẩn, m là tham số ). Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \( x_1 ; x_2 \), thoả mãn:

\( \cfrac{x_1^3+(2m+5)x_2 + 2m }{2} + \cfrac{2}{x_2^3+( 2m+5)x_1+2m }=\cfrac{122}{11} \)

Câu 2. ( 5 điểm )

1) Giải phương trình: \( \sqrt{ 2x^2-x} + \sqrt{4 - 3x}= 2 \sqrt{x^2-2x+2} \)

2) Giải hệ phương trình: \( \left\{\begin{matrix} x^2y^2+4=2y^2 \\ (xy+2)(y-x) =x^3y^2 \end{matrix} \right. \)

Câu 3. ( 3 điểm )

1) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x,y,z) thoả mãn \( \cfrac{x+y\sqrt{2017}}{y+z\sqrt{2017}} \) là số hữu tỉ đồng thời \( (y+2)(4xz + 6y -3 ) \) là số chính phương.

2) Trong hình vuông cạnh 1dm đặt một số hình vuông nhỏ có tổng chu vi bằng 9dm. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng cắt ít nhất 3 hình vuông nhỏ ( không kể hình vuông bao ngoài ).

Câu 4. ( 6 điểm ) Cho ΔOAI vuông tại A, B là điểm đối xứng với A qua đường thẳng OI. Gọi H, E lần lượt là trung điểm các cạnh AB ; BI ; D là giao điểm của đường thẳng AE và đường tròn (C) tâm O bán kính R ( D khác A ).

1) Chứng minh tứ giác BHDE nội tiếp.

2) Gọi J là giao điểm của đường thẳng ID và đường tròn (C) ( J khác D ). Chứng minh tam giác ABJ vuông.

3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng DH và đường tròn (C) ( K khác D ). Chứng minh:

\( IH^2 = ID .IK - DH.HK \)

Bài 5. ( 1 điểm) Cho hai số thực dương x , y thoả mãn \( 2 \sqrt{xy} + \sqrt{\cfrac{x}{3}} = 1 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\( P = \cfrac{y}{x} + \cfrac{4x}{3y} + 15xy \)

-------------------- HẾT ----------------------