A. LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ:

I. Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải

1.Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

2. Trong một phương trình , ta có thể nhân cả hai vế với  cùng một số khác 0.

3. Trong một phương trình , ta có thể chia cả hai vế cho cùng một số khác 0.

4. Từ một phương trình , dùng quy tắc chuyển vế hay hay quy tắc nhân , ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đó.

5. Phương trình dạng ax + b = 0 , với a , b là hai số tùy ý và a khác 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

II. Phương trình tích

1.Phương trình tích là phương trình có dạng \( A(x)B(x) = 0 \), trong đó A(x) , B(x) là các đa thức của biến x.

2.Muốn giải phương trình \( A(x)B(x) = 0\) , ta giải hai phương trình \( A(x) = 0 \) và \( B(x) = 0\), rồi lấy tất cả các nghiệm thu được.

III. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

1. Điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 được gọi là điều kiện xác định ( viết tắt là ĐKXĐ) của phương trình.

2. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức gồm các bước sau

            Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
            Bước 2: Quy đồng mẫu thức ở hai vế của phương trình rồi khử mẫu thức
            Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được
            Bước 4: ( Kết luận ) trong các giá trị tìm được của  ẩn ở bước 3 , loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định ; còn các giá trị thõa mãn điều kiện xác định chính là các  nghiệm của phương trình đã cho.


III. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Giải bài toán bằng cách lập phương trình gồm ba bước sau:

Bước 1: (lập phương trình) bao gồm
        – Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số
        – Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
        – Từ đó lập phương trình biểu thị sự tương đương giữa các đại lượng

Bước 2: (Giải phương trình) Giải phương trình thu được.

Bước 3: (Trả lời) Kiểm tra xem các nghiệm của phương trình , nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn , nghiệm nào không rồi trả lời.

IV. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

1. Với hai số thực a , b xảy ra một trong ba trường hợp sau:
        Số a bằng số b , kí hiệu a = b
        Số a nhỏ hơn số b , kí hiệu a < b
        Số a lớn hơn số b ,kí hiệu a > b

2. Ta gọi hệ thức dạng a < b ( hay dạng a > b , a ≤ b, a ≥ b  ) là bất đẳng thức và a gọi là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức

3.Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức thì được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho

Với ba số a , b , c ta có
        Nếu a < b thì a + c < b + c
        Nếu a > b thì a + c > b + c
        Nếu a ≤ b  thì  a + c ≤ b +c 
        Nếu a ≥ b  thì  a + c ≥ b + c
        

V. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

1. Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương  thì được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a , b , c  mà c > 0 , ta có

Nếu a < b thì ac < bc

Nếu a > b thì ac > bc

Nếu a ≥ b  thì   a.c ≥ b.c           

Nếu a ≤ b thì  a.c ≤ b.c



2. Khi nhân cả hai vế của  bất đẳng thức với cùng một số âm  thì được bất đẳng thức mới có chiều  ngược với chiều của bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a , b , c  mà c < 0 , ta có:

Nếu a < b thì ac > bc         

Nếu a > b thì ac < bc

Nếu a ≥ b  thì a.c ≤ b.c        

Nếu a ≤ b thì a.c ≥ b.c


   
3. Với ba số a, b, c ta có:

a< b; b< c ⇒ a < c

a ≤ b; b ≤ c ⇒ a ≤ c

         
VI. Bất phương trình bậc nhất một ẩn – cách giải

Người ta gọi bất phương trình dạng \( ax+b < 0 \) (hoặc \( ax+b > 0 \), \( ax+b ≤ 0 \), \( ax+b ≥ 0 \) )

trong đó x là ẩn , a và b là các số đã cho,a ≠ 0   là bất phương trình bậc nhất một ẩn


B. LÝ THUYẾT HÌNH HỌC :

I. Định lý Talet – Tính chất đường phân giác của tam giác.

1. Tỉ số của hai đoạn thẳng
* Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.
* Tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo.


2.Định lí Ta–lét :  Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Định lí Ta–lét đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.


3. Hệ quả

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng song song với một cạnh và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.

II. Tam giác đồng dạng

1. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Trường hợp 1: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Trường hợp 2: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Trường hợp 3: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

2. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Trường hợp 1: Nếu tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Trường hợp 2: Nếu tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với  hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của  tam giác vuông này bằng cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì 2 tam giác vuông đó đồng dạng.

3. Tính chất của hai tam giác đồng dạng

Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau thì:

Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

Tỉ số hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

Tỉ số các chu vi bằng tỉ số đồng dạng.

Tỉ số các diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.