Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Kẻ EF vuông góc với AD tại F. Chứng minh rằng:

1) Chứng minh: Tứ giác DCEF nội tiếp được

 2) Chứng minh:  \( \widehat{ CDE} = \widehat{ CFE}\)

3) Chứng minh: \( AF.AD = AE.AC    \)

4) Chứng minh: Tia CA là tia phân giác của \( \widehat{ BCF} \) .

Cho  đường tròn tâm O đường kính AC = 2R . Trên tiếp tuyến Ax của đường tròn lấy điểm M, MC cắt đường tròn tâm O tại điểm thứ hai là B. Từ O kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại I.

1) Chứng minh tứ giác AMIO nội tiếp.

2) Chứng minh \( MA^2 = MB.MC \) và \(  MC. BC = 4R^2\)

3) Giả sử  \( \widehat{ ACB} = 30^0 \), tính theo R diện tích hình quạt tròn AOB.

Cho ΔABC vuông tại A,\(  M \in   AC \). Vẽ đường tròn đường kính MC cắt BM tại D và cắt BC tại N. Gọi S là giao điểm của BA và CD.

1/ Chứng minh : tứ giác ABCD nội tiếp.

2/ Chứng minh: BD là phân giác của góc ADN.

3/  Chứng minh: \( SM \perp    BC\)  và ba điểm S, M, N thẳng hàng.

Cho tam giác ABC vuông ở A (AB < AC ). Đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD = HB. Vẽ CE vuông góc với AD tại E.

1/ Chứng minh  tứ giác AHEC nội tiếp một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn này.

2/ Biết góc ACB bằng \( 30^0 \) và BC = 2a.

a / Tính theo a diện tích hình quạt tròn OAH.

b/ Tính thể tích hình tạo thành khi cho tam giác ABC quay một vòng xung quanh cạnh BC.

Cho tam giác ABC cân (AB =AC). Các đường cao AG, BE, CF gặp nhau tại H.

1/ Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này.

2/ Chứng minh GE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I.

3/  Chứng minh  \( AH . BE = AF . BC.\)

Cho đường tròn(O,R). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O). Qua một điểm N trên cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến trên tại P,Q.

1/ Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp.

2/ Biết \( \widehat{ AMB} = 60^0 \). Tính theo R:

3/ Chu vi ∆MPQ, độ dài đoạn AB.

4/ Diện tích phần tứ giác OAMB nằm ngoài (O)

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D.

a) CMR: \( MA^2 = MC. MD \).

b) Gọi I là trung điểm của CD. CMR: 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường tròn.

c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn. Suy ra AB là phân giác của  \( \widehat{ CHD} \).

Cho hình vuông cạnh a , lấy điểm M bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B,C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K.

a. Chứng minh: BHCD là tứ giác nội  tiếp.

b. Chứng minh: \( KM \perp  DB \).

c. Chứng minh: \( KC . KD = KH . KB \)

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AB,AC với (O) (B,C  là các tiếp điểm). Kẻ dây  CD // AB,tia AD cắt (O) tại E (E khác D).

1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.

2) Chứng minh \( \widehat{ ACB}= \widehat{ AOC} \) 

3) Chứng minh   \( AB^2 = AE.AD \)

4) Tia  CE cắt AB tại I .Chứng minh  IA = IB.

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với tia DE tại H, đường thẳng này cắt tia DC tại F.

a)    CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

b)    CMR: \( DE.HE = BE.CE \).

c)    Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a khi E là trung điểm của BC.

d)    CMR: HC là tia phân giác của  .