CHỦ ĐỀ 1:  CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Cho hệ phương trình: \( \left\{\begin{matrix}  a_1 x+b_1 y= c_1  \: (d_1) \\  a_2x+b_2 y = c_2  \: (d_2) \end{matrix}\right. \)

+ \(  (d_1) \) cắt \( (d_2 )\) \( \Leftrightarrow  \cfrac{ a_1}{ a_2} ≠ \cfrac{ b_1}{ b_2} \) : Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

+ \(  (d_1) \) // \( (d_2 )\) \( \Leftrightarrow  \cfrac{ a_1}{ a_2} =  \cfrac{ b_1}{ b_2} ≠ \cfrac{c_1 }{c_2 } \)  :  Hệ phương trình vô nghiệm.

+ \(  (d_1)  ≡  (d_2 )\) \( \Leftrightarrow  \cfrac{ a_1}{ a_2} = \cfrac{ b_1}{ b_2} = \cfrac{c_1 }{ c_2}  \) :  Hệ phương trình có vô số nghiệm.

CHỦ ĐỀ 2: VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA (P): \( y = ax^2\)   VÀ \( (d): y = a’x + b\)  (a,a’ ≠  0)

1.Hàm số \( y = ax^2 \) , (a ≠ 0):

   *Hàm số \( y = ax^2 \) , (a ≠ 0) có những tính chất sau:

Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.

Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.

   * Vẽ đồ thị của hàm số \( y = ax^2\)  (a ≠ 0):

Lập bảng các giá trị tương ứng của (P).

Dựa và bảng giá trị để vẽ (P).

2. Tìm giao điểm của hai đồ thị: \( (P): y = ax^2 \) (a ≠ 0) và \( (d): y = a’x + b \) ( a’ ≠ 0 )

Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng nhau:

\( ax^2 = a’x+b \)

Giải pt hoành độ giao điểm:

+ Nếu  Δ  > 0  ⇒ pt có 2 nghiệm phân biệt ⇒ (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

+ Nếu  Δ = 0 ⇒  pt có nghiệm kép   ⇒ (D) và (P) tiếp xúc nhau.

+ Nếu   Δ < 0  ⇒ pt vô nghiệm ⇒  (D) và (P) không giao nhau.

3. Xác định số giao điểm của hai đồ thị : \( (P): y = ax^2 \) (a ≠ 0) và (d) theo tham số m:

•    Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D)   đưa về pt bậc hai dạng \( ax^2 + bx  + c = 0\).

•    Lập  Δ   của pt hoành độ giao điểm.

•    Biện luận:

+ (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi   Δ  > 0 → giải bất pt →  tìm m.

+ (D) tiếp xúc (P) tại 1 điểm   Δ = 0  → giải  pt  → tìm m.

+ (D) và (P) không giao nhau  khi   Δ < 0  → giải bất pt  →  tìm m.

CHỦ ĐỀ 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1. Giải phương trình bậc hai dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \) (a ≠ 0)   (1)

a) Nhẩm nghiệm:

*  a + b +c = 0  pt (1) có 2 nghiệm: \( \left [ \begin{matrix} x_1 = 1 \\ x_2 = \cfrac{c }{ a}    \end{matrix}\right. \).      

*  a – b +c = 0  pt (1) có 2 nghiệm: \( \left [ \begin{matrix} x_1 =  1 \\ x_2 = \cfrac{- c }{ a}    \end{matrix}\right. \).     

b) Giải với  Δ’:

Nếu \( b = 2b’ , b’ =\cfrac{ b}{ 2} ,    Δ’= (b’)^2 – ac \)

•    Nếu  Δ’ >  0   pt có 2 nghiệm phân biệt: \( \left [ \begin{matrix} x_1 = \cfrac{ -b’+ \sqrt{Δ’ }}{a }   \\ x_2 = \cfrac{ -b’- \sqrt{Δ’ }}{a }    \end{matrix}\right. \)

•    Nếu  Δ’ =  0   phương trình có  nghiệm kép: \( x_1 = x_2 = \cfrac{-b’ }{ a} \)  .

•    Nếu  Δ’ <  0   phương trình vô nghiệm.

c) Giải với Δ  :

   Tính  : \( Δ = b2 – 4ac\)

•    Nếu   Δ >  0   pt có 2 nghiệm phân biệt: \( \left [ \begin{matrix} x_1 = \cfrac{ -b+ \sqrt{Δ }}{2a }   \\ x_2 = \cfrac{ -b- \sqrt{Δ }}{2a }    \end{matrix}\right. \)

•    Nếu   Δ =  0   phương trình có nghiệm kép:  \( x_1 = x_2 = \cfrac{-b }{ 2a} \)

•    Nếu   Δ <  0   phương trình vô nghiệm.


2. Hệ thức Vi ét và ứng dụng:

a) Định lý: Nếu \( x_1, x_2 \) là 2 nghiệm của phương trình \( ax^2 + bx + c = 0 \)  (a ≠ 0) thì ta có:

b) Định lý đảo: Nếu u, v là 2 nghiệm của phương trình \( x^2 – Sx + P = 0 \) (ĐK:\(  S2 – 4P  ≥ 0 \) ).

* Một số hệ thức khi áp dụng hệ thức Vi-ét:

- Tổng bình phương các nghiệm:   \( x_1^2 + x_2^2 =(x_1+x_2)^2 - 2 x_1 x_2 =  S2 – 2P \).

- Tổng nghịch đảo các nghiệm: \( \cfrac{1 }{x_1 } + \cfrac{1 }{x_2 } = \cfrac{ x_1 + x_2 }{x_1 . x_2  } = \cfrac{S }{ P} \) .

- Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm:  \( \cfrac{1 }{x_1^2 } + \cfrac{1 }{x_2^2 } = \cfrac{ x_1^2 + x_2^2 }{( x_1 . x_2 )^2 } = \cfrac{S^2-2P }{ P^2} \) . .

- Bình phương của hiệu các nghiệm: \(  (x_1 - x_2 )^2 = (x_1+x_2)^2 -4x_1x_2 = S^2 – 4P \).

- Tổng lập phương các nghiệm:   \( x_1^3 + x_2^3 = (x_1+ x_2 )^3 - 3x_1 x_2 ( x_1 + x_2 ) = S^3 – 3PS \)

3.Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập đối với tham số: (Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số).

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm ( Δ ≥ 0    hoặc a.c < 0).

- Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình \( \left\{\begin{matrix} S = x_1 + x_2 = - \cfrac{b }{ a}  \\  P = x_1 . x_2 = \cfrac{c }{a }   \end{matrix}\right. \)

- Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ giữa S và P →  Đó là hệ thức độc lập với tham số.

4. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng – Lập phương trình bâc hai khi biết hai nghiệm của nó:

 Phương pháp giải:

- Nếu 2 số u và v có: \( \left\{\begin{matrix} u+v = S  \\  u.v = P  \end{matrix}\right. \)    ⇒ u, v là hai nghiệm của phương trình: \( x^2 – Sx + P = 0\)  (*).

- Giải pt (*):

+ Nếu  Δ > 0  ( hoặc Δ’ > 0 ) ⇒ pt (*) có 2 nghiệm phân biệt \(  x_1, x_2 \).

Vậy  \( \left\{\begin{matrix} u = x_1  \\  v = x_2   \end{matrix}\right. \)  hoặc \( \left\{\begin{matrix} u = x_2  \\  v = x_1   \end{matrix}\right. \)  .

+  Nếu  Δ = 0 ( hoặc  Δ’= 0) ⇒  pt (*) có nghiệm kép  \( x1 = x2 =\cfrac{ -b}{2a } \)  .

Vậy \( u = v =\cfrac{-b }{ 2a} \) .

+ Nếu  Δ < 0 (hoặc Δ ’ < 0)  ⇒ pt (*) vô nghiệm. Vậy không có 2 số u, v thỏa đề bài.

5. Chứng minh phương trình bậc hai  luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m:

  Phương pháp giải:

•    Lập biệt thức  Δ .

•    Biến đổi Δ  đưa về dạng : \( Δ  = (A +  B)^2 + c  > 0 \) ,  với mọi m ( c là một số dương)

•    Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi tham số m.

6. Chứng minh phương trình bậc hai  luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:

 Phương pháp giải:

•    Lập biệt thức  Δ .

•    Biến đổi  Δ  đưa về dạng : \( Δ  = (A +  B)^2  ≥ 0 \) ,  với mọi m.

•    Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn nghiệm với mọi tham số m.

7. Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m: Phương pháp giải:

•    Lập biệt thức  Δ .

•    Biện luận:

+  Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:  Δ  > 0   → giải bất pt  → tìm tham số m  → kết luận.

+ Phương trình có nghiệm kép khi  Δ = 0 →  giải pt  →  tìm tham số m  →  kết luận.

+ Phương trình vô nghiệm khi  Δ < 0 →  giải bất pt  → tìm tham số m  → kết luận.

+ Phương trình có nghiệm khi   Δ ≥ 0   → giải bất pt  → tìm tham số m  → kết luận.

Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: \( a.c < 0\) →   giải bất pt   →tìm tham số m →  kết luận.

8. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Phương pháp giải:

•    Đưa biểu thức P cần tìm về dạng:  \( P = (A ±  B)^2 + C ⇒   P = (A ±  B)^2 + C ≥ C \).

•    Giá trị nhỏ nhất của P: \( P_{min} = C\)  khi \( A ±  B = 0 \) →  giải pt  → tìm tham số m  → kết luận.


9. Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức: Phương pháp giải:

•    Đưa biểu thức Q cần tìm về dạng: \( Q =  C – (A ±  B)^2 ⇒  Q = C – (A ± B)^2 ≤ C \)

•    Giá trị lớn nhất của Q: \( Q_{max} = C \)  khi \( A±   B = 0 \) →  giải pt  → tìm tham số m  → kết luận.

CHỦ ĐỀ 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Các bước giải:

1.    Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình):

•    Chọn ẩn số và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn;

•    Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và qua các đại lượng đã biết ;

•     Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

2.    Giải phương trình ( hoặc hệ phương trình) vừa lập được.

3.    Trả lời: Chỉ nhận nghiệm thỏa ĐK và trả lời yêu cầu của bài.

CHỦ ĐỀ 5: ĐƯỜNG TRÒN

1. Góc ở tâm: Trong một đường tròn, số đo của góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn.

2. Góc nội tiếp:  

+ Định lý:

+ Hệ quả: Trong một đường tròn:

a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng \( 90^0 \) ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

3. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:

+ Định lý:

+ Hệ quả: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

4. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn:

Định lý:

5. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn:

Định lý:

6. Tứ giác nội tiếp:

+ Định nghĩa:

+ Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng \( 180^0 \).

+ Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng \( 180^0 \)  thì tứ giác đó nội  tiếp được đường tròn.

+ Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

- C/m tứ giác có tổng hai góc đối bằng \( 180^0 \)

- C/m bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm.

- C/m tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

- C/m hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc chung

7. Độ dài đường tròn, cung tròn:

* Chu vi đường tròn:    \( C = 2 \pi  R = d \pi \)  (d:đường kính)

* Độ dài cung tròn AB:    \( l= \cfrac{ 2 \pi R sđ \: cung AB}{360^0 } = \cfrac{ \pi R sđ \: cung AB}{ 180^0} \)

8. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn:

* Diện tích hình tròn:     \( S = \pi R^2 = \pi \cfrac{ d^2}{ 4} \)

* Diện tích hình quạt tròn:      \( S = \cfrac{ \pi R^2 n }{ 360} = \cfrac{l R  }{2 } \)

* Diện tích hình viên phân:        \( S_{viên phân} = S_{quạt}  - S_{Tam giác} \)

* Diện tích hình vành khăn:   \( S = \pi \left (  R_1^2 - R_2^2 \right ) \)

     

CHỦ ĐỀ 6: HÌNH KHÔNG GIAN

1.Hình trụ:

* Diện tích xung quanh:  \( S _{xq}= 2 \pi Rh \)

* Diện tích toàn phần:     \( S_{tp} = S_{xq} + 2.S_{đáy} \)

* Thể tích:       \( V = S.h = \pi R^2 h \)   (S: diện tích đáy; h: chiều cao)

2.Hình nón:

* Diện tích xung quanh:   \( S_{xq}= \pi .R.l \)

* Diện tích toàn phần: \( S_{tp} = S_{xq} + S_{đáy} \)

* Thể tích: \( V_{nón} =  \cfrac{1 }{ 3} V_{trụ} \)

3. Hình nón cụt:

* Diện tích xung quanh:  \( S_{xq}= \pi (R_1 + R_2 ) .l \)

* Diện tích toàn phần: \( S_{tp} = S_{xq} + S_{đáy lớn} + S_{đáy nhỏ} \)

* Thể tích:  \( V = \cfrac{ }{ } \pi h ( R_1^2 + R_2^2 +R_1.R_2 ) \)