☘ BÀI 6. CHIA HẾT VÀ CHIA CÓ DƯ
☘ PHẦN: SỐ HỌC
☘ CHƯƠNG 1: SỐ TỰ NHIÊN
💎 KIẾN THỨC
1) Chia hết và chia có dư:
Với \( a, b \in N , \: b ≠ 0 \)
Ta có : \( a = b.q + r \) , với \( q , r \in N, \: 0 ≤ r < b \)
q: là thương của phép chia a cho b.
r: là số dư khia chia a cho b.
+ Nếu \( r = 0 \): thì ta nói a chia hết cho b, kí hiệu \( a \: ⋮ \: b \)
khi đó : \( a : b = q \)
+ Nếu \( r ≠ 0 \): thì ta nói a không chia hết cho b, kí hiệu \( a \: \not ⋮ \: b \)
khi đó : \( a : b = q \), dư r
2) Tính chất chia hết của một tổng:
a) Tính chất 1: Với a, b, n là các số tự nhiên, n khác 0.
Nếu \( a \: ⋮ \: n , \: b \: ⋮ \: n \) thì \( ( a + b ) \: ⋮ \: n \)
Nếu \( a \: ⋮ \: n , \: b \: ⋮ \: n \) thì \( ( a - b ) \: ⋮ \: n \) ( a ≥ b )
Mở rộng: tính chất 1 còn đúng với tổng ( hiệu ) của nhiều số hạng:
Với a, b, c, n là các số tự nhiên, n khác 0.
Nếu \( a \: ⋮ \: n , \: b \: ⋮ \: n , c \: ⋮\: n \) thì \( ( a + b + c ) \: ⋮ \: n \)
b) Tính chất 2: Với a, b, n là các số tự nhiên, n khác 0.
Nếu \( a \: ⋮ \: n , \: b \: \not ⋮ \: n \) thì \( ( a + b ) \: \not ⋮ \: n \)
Nếu \( a \: ⋮ \: n , \: b \: \not ⋮ \: n \) thì \( ( a - b ) \: \not ⋮ \: n \) ( a ≥ b )
Mở rộng: tính chất 2 còn đúng với tổng ( hiệu ) của nhiều số hạng:
Với a, b, c, n là các số tự nhiên, n khác 0.
Nếu \( a \: ⋮ \: n , \: b \: ⋮ \: n , c \not \: ⋮ \: n \) thì \( ( a + b + c ) \: \not ⋮ \: n \)
Lưu ý: tính chất 2 chỉ đúng khi trong tổng chỉ có duy nhất 1 số hạng không chia hết cho n.
📖 BÀI TẬP CƠ BẢN
- Các bạn nên tự làm trước các bài tập này. Sau đó các bạn đối chiếu kết quả của mình với đáp án của bài.
- Hoặc khi các bạn chưa tìm ra cách giải thì có thể tham khảo bài giải trong phần .
📚 Bài tập 1: Trong các câu sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) \( 1100 - 30 \) chia hết cho 10.
b) \( 410 + 55 \) không chia hết cho 5.
c) \( 77 + 49 \) không chia hết cho 11.
d) \( 6624 - 1806 \) chia hết cho 6.
a) \( 1100 - 30 \) chia hết cho 10 ( Đúng vì \( 1100 \: ⋮ \: 10, 30 \: ⋮ \: 10 \) ).
b) \( 410 + 55 \) không chia hết cho 5 ( Sai vì \( 410 \: ⋮ \: 5, 55\: ⋮ \: 5\) nên tổng 410 + 55 chia hết cho 5 ).
c) \( 77 + 49 \) không chia hết cho 11 ( Đúng vì \( 77 \: ⋮ \: 11 , 49 \: \not ⋮ \: 11 \) ).
d) \( 6624 - 1806 \) chia hết cho 6. ( Đúng ).
📚 Bài tập 2: Viết kết quả phép chia dưới dạng \( a = b.q + r\) , với \( 0 ≤ r < r \)
a) \( 210 : 3 \)
b) \( 256 : 5 \)
c) \( 2021 : 3 \)
a) Vì \( 210 : 3 = 70 \)
Nên: \( 210 = 70.3 \)
b) Vì: \( 256 : 5 = 51 \) , dư 1
Nên: \( 256 = 5. 51 + 1 \)
c) Vì \( 2021 : 3 = 673 \) , dư 2.
Nên: \( 2021 = 3. 673 + 2 \)
📚 Bài tập 3: Cho tổng \( A = 34+ 16 + x \), với x là số tự nhiên.
a) Tìm x để A chia hết cho 2.
b) Tìm x để A chia hết cho 5.
a) Tìm x để A chia hết cho 2.
Ta có: \( A = 34+ 16 + x = 50 + x \)
Vì \( 50 \: ⋮ \: 2 \) nên \( A \: ⋮ \: 2 \) khi \( x \: ⋮ \: 2 \)
Vậy x là số tự nhiên chia hết cho 2 thì \( A \: ⋮ \: 2 \)
b) Tìm x để A chia hết cho 5.
Ta có: \( A = 34+ 16 + x = 50 + x \)
Vì \( 50 \: ⋮ \: 5 \) nên \( A \: ⋮ \: 5 \) khi \( x \: ⋮ \: 5 \)
Vậy x là số tự nhiên chia hết cho 5 thì \( A \: ⋮ \: 5 \)
📚 Bài tập 4: Bạn Lan có 12 quả xoài, 35 quả táo. Lan muốn chia cho 3 bạn Nam, Hải Tâm toàn bộ số trái cây trên. Hỏi Lan có thể chia đều số lượng mổi loại trái cây trên cho 3 bạn không ? ( lưu ý không cắt nhỏ trái cây để chia).
Ta có: \( 12 \: ⋮ \: 3 \) , \( 35 \: \not ⋮ \: 3 \)
Vậy Lan có thể chia đều số lượng quả xoài cho 3 bạn, nhưng táo thì không thể chia đều cho 3 bạn.
📈 BÀI TẬP NÂNG CAO
- Các bạn nên tự làm trước các bài tập này. Sau đó các bạn đối chiếu kết quả của mình với đáp án của bài.
- Hoặc khi các bạn chưa tìm ra cách giải thì có thể tham khảo bài giải trong phần .
📚 Bài tập 1:
a) Chứng tỏ rằng tổng: \( 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^{99} + 2^{100} \) chia hết cho 3.
b) Tìm số dư khi chia tổng \( 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^{99} + 2^{100} \) cho 7.
a) \( 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^{99} + 2^{100} \) \( = ( 2^1 + 2^2) + ( 2^3 + 2^4 ) + ... +( 2^{99} + 2^{100}) \) \( = 2^1.( 1 + 2) + 2^3( 1 + 2 ) + ... + 2^{99}( 1 + 2) \) \( = 2^1 . 3 + 2^3 . 3 + ... + 2^{99} . 3 \) Theo tính chất 2, thì tổng \( 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^{99} + 2^{100} \) chia hết cho 3. b) \( 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^{99} + 2^{100} \) \( = 2^1 + ( 2^2 + 2^3 + 2^4 ) + ... + ( 2^{98} + 2^{99} + 2^{100}) \) \( = 2 + 2^2. ( 1 + 2 + 2^2 ) + ... + 2^{98}. (1 + 2 + 2^{2}) \) \( = 2 + 2^2. 7 + ... + 2^{98}. 7 \) \( 2 + 2^2. 7 + ... + 2^{98}. 7 \) chia 7 dư 2. Vậy \( 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^{99} + 2^{100} \) chia 7 dư 2.
📚 Bài tập 2: Chứng tỏ rằng số có dạng \(\overline{abcabc} \) chia hết cho 7, cho 11, cho 13.
Ta có: \(\overline{abcabc} = \overline{abc} . 1001=\overline{abc}.7.11.13 \) Vậy \(\overline{abcabc} \) chia hết cho 7 , cho 11, cho 13.
📚 Bài tập 3: Cho a, b, c là các số tự nhiên: a chia 7 thì dư 4, b chia 7 thì dư 3, c chia 7 dư 1.
a) Chứng tỏ: \( a+ b \) chia hết cho 7.
b) Tìm số dư khi chia b + c cho 7
a) Theo bài toán, ta có: \( a = 7. q_1 + 4 \) \( b = 7.q_2 + 3\) \( c = 7.q_3 + 1 \) Khi đó: \( a + b = ( 7.q_1+4) + ( 7.q_2+ 3) =7q_1 + 7q_2 + 7 \) \( = 7.( q_1 + q_2 +1 ) \) chia hết cho 7. Vậy \( a+ b \) chia hết cho 7. b) Ta có: \( b+ c = ( 7q_2 + 3 ) + ( 7q_3 + 1 ) = 7q_2 + 7q_3+ 4 = 7.( q_2+ q_3 ) + 4 \) Vậy \( b+ c \) chia 7 dư 4.
📚 Bài tập 4: Cho n là số tự nhiên. Chứng tỏ rằng: \( ( 7^n +1 ).( 7^n + 2 ) \) chia hết cho 3.
Với 3 số tự nhiên liên tiếp thì sẽ có một số chia hết cho 3. Ta có: \( 7^n ; \: 7^n + 1; \: 7^n + 2 \) là 3 số tự nhiên liên tiếp Mà: \( 7^n \) không chia hết cho 3. Nên trong 2 số \( 7^n + 1; \: 7^n + 2 \) sẽ có một số chia hết cho 3. Vậy: \( ( 7^n +1 ).( 7^n + 2 ) \) chia hết cho 3.