Chương 1

Định nghĩa: Số hữu tỉ là số có thể viết dưới dang phân số \( \cfrac{a}{b} \) ( \( a, b \in Z , \: b ≠ 0 \) )

- Tập hợp số hữu tỉ kí hiệu là: \( Q \) .

- Số tự nhiên, số nguyên cũng là số hữu tỉ.

+ Số hữu tỉ > 0 gọi là số hữu tỉ dương. Kí hiệu: \( Q^+ \)

+ Số hữu tỉ < 0 gọi là số hữu tỉ âm. Kí hiệu: \( Q^- \)

+ Số 0 không phải là số hữu tỉ âm, cũng không phải là số hữu tỉ dương.

Quy tắc: Muốn cộng các số hữu tỉ, ta viết chúng dưới dạng các phân số cùng mẫu dương rồi cộng các tử với nhau và giữ nguyên mẫu.

\( x + y = \cfrac{a}{m} + \cfrac{b}{m} \) ( m ≠ 0 )

Số đối: nếu hai số có tổng bằng 0 thì số này gọi là số đối của số kia.

\( x + y = 0 \)

+ x gọi là số đối của y, y là số đối của x.

+ Số đối của số \( a \) kí hiệu là \( - a \)

+ Số đối của \( -a \) là \( a \) , do đó : \( -(-a) = a \)

Quy tắc: muốn trừ số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y, ta cộng x với số đối của y.

\( x- y = x + (-y) \)

Các tính chất của phép cộng các sô hữu tỉ cũng giống các tính chất phép cộng các số nguyên.

1) Tính chất giao hoán :

\( a + b = b + a \) , với \( a , b \in Q \)

2) Tính chất kết hợp :

\( a + ( b + c ) = (a +b ) + c \) , với mọi với \( a , b , c \in Q \)

3) Cộng với số 0 :

\( a + 0 = 0 + a = a \) , với mọi \( a \in Q \)

4) Cộng với số đối:

\( a + (-a) = 0 \) , với mọi \( a \in Q \)

+ Biểu thức gồm các số liên hệ bởi các dấu phép toán cộng , trừ là một tổng đại số.

Ví dụ: \( 6+ 14 - \cfrac{4}{7} \)

+ Trong một tổng đại số, ta có thể đổi chỗ một cách tùy ý các số hạng kèm theo dấu của chúng.

Ví dụ: \( 6+ 14 - \cfrac{4}{7} = 6 - \cfrac{4}{7} + 14 \)

Quy tắc:

+ Khi bỏ dấu ngoặc có dấu \( "-" \) đằng trước, ta phải đổi dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc đó.

+ Khi bỏ dấu ngoặc có dấu \( "+" \) đằng trước, ta giữ nguyên dấu các số hạng trong dấu ngoặc đó.

Ví dụ: \( 2 - (5+\cfrac{1}{3} - 7 ) = 2 - 5-\cfrac{1}{3} + 7 \)

\( -12 + (8-14,4 + 35 ) = -12 + 8-14,4 + 35 \)

Quy tắc: Khi chuyển một số hạng từ vê này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó.

\( a + b-c = d \Rightarrow a + b = c + d \)

\( a + b-c = d \Rightarrow a - c = d - b\)

( với mọi \( a, b, c, d \in Q \) )

Ta có thể thêm vào hay bớt đi cùng một số ở hai vế của đẳng thức, hoặc của một bất đẳng thức.

Với mọi \( a, b, c \in Q \) , ta có :

\( a = b \Rightarrow a + c = b + c\)

\( a + c = b + c \Rightarrow a=b\)

\( a>b \Rightarrow a + c>b + c\)

\( a + c>b + c \Rightarrow a>b\)

\( a<b \Rightarrow a + c<b + c\)

\( a + c<b + c \Rightarrow a<b \)

Quy tắc: Muốn nhân hai số hữu tỉ ta viết chúng dưới dạng phân số và thưc hiện phép nhân hai phân số đó.

Với \(x, y \in Q ; \: x = \cfrac{a}{b} ; y = \cfrac{c}{d} \)

\( x. y = \cfrac{a}{b} . \cfrac{c}{d} \)

1) Tính chất giao hoán :

\( x.y = y.x \) , với mọi \( x, y \in Q \)

2) Tính chất kết hợp :

\( x.(y.z) = (x.y).z \) , với mọi \( x , y, z \in Q \)

3) Nhân với 1:

\( x.1 = 1.x = x \) , với mọi \( x \in Q \)

4) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, phép trừ :

\( x.(y + z) = xy + xz\)

\( x.(y - z) = xy - xz \)

với mọi \( x, y, z \in Q \)

+ Số nghịch đảo của số hữu tỉ x là sô' hữu tỉ y sao cho \( x.y = 1\)

+ Số nghịch đảo của x kí hiệu là \( \cfrac{1}{x} \) .

Quy tắc: muốn chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y ( y ≠ 0), ta nhân x với số nghịch đảo của y.

\( x: y = x. \cfrac{1}{y} \)

Với \( x, y \in Q ; \: y ≠ 0 \)

Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ x, kí hiệu: \( | x | \)

\( |x| = \left\{\begin{matrix} - x , \: x < 0 \\ x , \: x ≥ 0 \end{matrix} \right. \)

Với \( x \in Q \)

Quy tắc: Để cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân, ta viết chúng dưới dạng các phân số rồi thực hiện các phép toán trên các phân số đó.

\( x^n = \underset{n \: thừa \: số \: x}{\underbrace{xxx...x}} \)

\( x^n \) là một lũy thừa với số mũ tự nhiên, x là cơ số, n là số mũ.

+ Quy ước : với \( x≠ 0, x^0 = 1\)

\( x^m.x^n= x^{m+n} \) , Với \( x \in Q ; \: m,n \in Z \)

\( x^m : x^n = x^{m-n} \) , Với \( x \in Q ; \: m,n \in Z , m ≥ n \)

\( ( x^m)^n= x^{m.n} \)

Với \( x \in Q ; \: m,n \in Z \)

\( \left ( \cfrac{x}{y} \right )^m = \cfrac{x^m}{y^m} \)

Với \( x, y \in Q ; m \in Z ; y ≠ 0 \)

1) Định nghĩa:

Một đẳng thức của hai tỉ số gọi là tỉ lệ thức

\( \cfrac{a}{b}= \cfrac{c}{d} \) hoặc \( a:b= c:d \)

a,d: là các số hạng ngoài ( ngoại tỉ )

b,c : các số hạng trong ( trung tỉ )

2) Tính chất 1:

Trong một tỉ lệ thức tích của hai ngoại tỉ bằng tích của hai trung tỉ

\( \cfrac{a}{b}= \cfrac{c}{d} \Rightarrow a.d = b.c \)

3. Tính chất 2:

Nếu: \( a.d= b.c \)

Suy ra: \( \cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d} ; \: \cfrac{d}{b} = \cfrac{c}{a} ; \) \( \cfrac{a}{c} = \cfrac{b}{d} ; \: \cfrac{b}{a}= \cfrac{d}{c} \)

\( \cfrac{a}{b} = \cfrac{c}{d} = \cfrac{a+ c }{b+ d } =\cfrac{a- c }{b- d } \) ( b≠ ± d )

Mở rộng:

\( \cfrac{a}{b} = \cfrac{c}{d} =\cfrac{e}{f} = \cfrac{a+ c+e }{b+ d+f }= \cfrac{a+ c- e }{b+ d-f } \)

Quy tắc: Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ nguyên bộ phận còn lại. Nếu chữ sô đầu tiên phải bỏ đi lớn hơn hay bằng 5 ta cộng thêm 1 vào chữ số cuối cùng của bộ phận còn lại.

Ví dụ: làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất:

a) 3,4381 ≈ 3,4

b) 4,157 ≈ 4,2

c) 147,378 ≈ 147,4

Căn bậc hai của số \( a > 0 \) là số x sao cho \( x^2 = a\).

Ví dụ : 3 là căn bậc hai của 9 vì \( 3^2 = 9\)

-3 cũng là căn bậc hai của 9 vì \( (-3)^2 = 9\).

+ Một số \( a > 0 \) có đúng hai căn bậc hai, một số dương và một số âm. Căn bậc hai dương của a > 0 kí hiệu là: \( \sqrt{a} \) , căn
bậc hai âm của số \( a > 0\) kí hiệu là \( - \sqrt{a} \) . Số 0 có đúng một căn bậc hai \( \sqrt{0} = 0 \).

+ Với mọi số dương a, b thì:

\( a = b \Leftrightarrow \sqrt{a} =\sqrt{b} \)

\( 0<a<b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b} \)

+ Số vô tỉ là số có thể viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

+ Vi dụ : \( \sqrt{2} = 1,4142135623709.... \) là số vô tỉ

\( \pi = 3,1414592653.... \) là số vô tỉ.

+ Người ta cũng chứng minh được \( \sqrt{ 3} ; \sqrt{5} ; \sqrt{6} ; .... \) là các số vô tỉ.

+ Tập hợp các số vô tỉ kí hiệu là \( I \) .

+ Số hữu tỉ số vô tỉ được gọi chung là số thực.

+ Tập hợp các số thực được kí hiệu là \( R\).

+ Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục sô'. Đảo lại, mỗi điểm trên trục số biểu diễn đúng một số thực.