Chương 1

+ Đơn thức: là biểu thức đại số trong đó có các phép toán thực hiện trên các biến số chỉ là phép nhân hoặc lũy thừa với số mũ tự nhiên.

+ Mỗi số thực khác 0 được xem là một đơn thức bậc 0.

+ Số 0 là đơn thức không có bậc.

Ví dụ: đơn thức: \( 2xy^2z ; \: 3x^4y^7 ;...\)

Đa thức: là biểu thức có thể viết dưới dạng một tổng đại số các đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng đại số đó là một hạng tử của đa thức.

Ví dụ: đa thức : \( A= 2xy + 4y^2 -x^3z^5 \)

Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Kí hiệu: A, B, C, ... là các đơn thức ta có thể viết:

\( A.(B + C+ ... + D) = A.B + A.C + ... + A.D \)

Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

\( (A + B )(C + D + ... + E) \)

\( = AC + AD + ... + AE + BC + BD + ... + BE \)

Ví dụ: \( (2x+y)(4x-4y^2 ) \)

\( = 2x.4x-2x.4y^2 +y.4x-y.4y^2 \)

\( = 8x^2 - 8 xy^2 +4xy - 4y^3 \)

1) Bình phương của một tổng:

\( (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \)

2) Bình phương của một hiệu:

\( (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 \)

3) Hiệu hai bình phương:

\( A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) \)

4) Lập phương của một tổng:

\( (A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 \)

5) Lập phương của một hiệu:

\( (A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3 \)

6) Tổng của hai lập phương:

\( A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2) \)

7) Hiệu hai lập phương:

\( A^3-B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) \)

Phân tích một đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành tích của những đa thức. Có thể nói phân tích đa thức thành nhân tử là một việc làm ngược với phép nhân đa thức.
Có nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Phương pháp đặt nhân tử chung:

Đơn thức A chia hết cho đơn thức B ≠ 0 nếu tìm được đơn thức Q sao cho \( B.Q = A \) .

Điều kiện để đơn thức A chia hết cho đơn thức B là mỗi biến của B đều là biến của A mà số mũ của nó trong B không lớn hơn số mũ của biến đó trong A.

Ví dụ : \( 2x^3y^2z \) chia hết cho \( 7x^2y^2 \)

Quy tắc chia đơn thức A cho đơn thức B:

- Chia hệ sô của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.

- Chia từng lũy thừa của biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.

- Nhân các kết quả tìm được với nhau.

Ví dụ: \( 2x^4y^6z : 7x^3y^4 \)

\( = (2 : 7).(x^4 : x^3).(y^6 : y^4).(z : 1) = -xy^2z \)

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B, ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả lại.

Ví dụ: \( (x^3y^3 - 10xy + 15x^2y^3) : 5xy\)

\( = (x^3y^3 : 5xy) - (10xy : 5xy) + (15x^2y^3 : 5xy) = \cfrac{1}{5} x^2y^2 - 2 + 3xy^2 \)

Cho f(x) và g(x) là hai đa thức của cùng biến x với bậc của f(x) không nhỏ hơn bậc của g(x). Để chia f(x) (đa thức bị chia) cho g(x) (đa thức chia) ta thực hiện:

- Chia hạng tử bậc cao nhất của f(x) cho hạng tử bậc cao nhất của g(x).

- Nhân thương vừa tìm được với đa thức chia g(x) rồi lấy đa thức bị chia f(x) trừ cho tích nhận được.

- Nếu hiệu vừa mới nhận bằng 0, ta bảo f(x) chia hết cho g(x).

- Nếu hiệu vừa mới nhận là một đa thức, kí hiệu f'(x) ta gọi là đa thức dư thứ nhất. Nếu bậc của f'(x) nhỏ hơn bậc của g(x), phép chia kết thúc và gọi là phép chia có dư.

- Nếu bậc của f'(x) không nhỏ hơn bậc của g(x), ta lặp lại quá trình như trên đối với f'(x) và g(x) thì đến một lúc sẽ thấy là phép chia hết hoặc phép chia có dư với bậc của đa thức dư cuối cùng nhỏ hơn bậc của g(x).