Chương 3

Cho \( A(x)\) và \( B(x)\) là hai biểu thức cùng biến x. Một phương trình ẩn số x có dạng \( A(x) = B(x)\) .

Biểu thức \( A(x) \) được gọi là vế trái, \( B(x) \) được gọi là vế phải của phương trình.

Ví dụ : \( 3x + 5 = x^2 + 1 \)

Ghi chú :

+ Các biểu thức ở hai vế của phương trình cùng chứa biến nào thì gọi là phương trình ẩn số ấy. Chẳng hạn 2y + 1 = 3y - 2 là phương trình ẩn số y.

+ Một vế của phương trình có thể là một số không phụ thuộc ẩn số.

+ Cho phương trình ẩn x : \( A(x) = B(x) \) (1)

Tại \( x = m\) , nếu các giá trị \( A(m) = B(m) \) ta bảo số m thỏa mãn (hay nghiệm đúng) phương trình (1) và gọi \( x = m \) là một nghiệm của phương trình (1).

+ Một phương trình có thể có 1 nghiệm, 2 nghiệm, n nghiệm hay không có nghiệm nào.

+ Ví dụ :

Phương trình \( 3x + 2 = 2(x - 1) \) có đúng một nghiệm \( x = -4 \)

Phương trình \( 3x + 5 = x^2 + 1 \) có đúng hai nghiệm \( x = -1 \) và \( x = 4\)

Phương trình \( x^2 + x = -1 \) không có nghiệm nào.

+ Khi phương trình không có nghiệm ta còn nói là phương trình vô nghiệm.

+ Quá trình đi tìm tất cả các giá trị của ẩn số nghiệm đúng phương trình (tức là tìm tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình) gọi là giải phương trình.

+ Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình thường được kí hiệu bằng chữ \( S \) (gọi tắt là tập nghiệm của phương trình).

+ Một phương trình vô nghiệm thì tập nghiệm \( S = Φ \)

Hai phương trình \( A(x) = B(x) \) (1)

\( C(x) = D(x) \) (2)

được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

+ Kí hiệu: \( A(x) = B(x) \Leftrightarrow C(x) = D(x) \)

+ Ví dụ : \( 7x - 5 = 5(x - 1) + 4 \Leftrightarrow 2x - 3 = 3x + 1 \)

Vì cả hai phương trình đều có tập nghiệm là \( S = {2} \)

+ Ghi chú: Hai phương trình vô nghiệm được xem là tương đương vì chúng cùng có tập nghiệm là \( S = Φ \)

Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, nếu chuyển một hạng tử từ vê này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó thì ta được một phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Ví dụ : \( 2x = x - 3 \Leftrightarrow 2x - x = -3 \)

+ Quy tắc nhân: Nhân (hoặc chia) hai vế một phương trình với cùng một số khác 0, ta được một phương trình tương đương với phương trình đã cho.

+ Ví dụ :

+ Phương trình một ẩn x có dạng \( ax + b = 0\) , trong đó a và b là hai số tùy ý và \( a ≠ 0 \) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

+ Ví dụ : \( x - 3 = 0 ; 3x + 5 = 0 \)

+ Định lí : Phương trình \( ax + b = 0 \) ( a ≠ 0) luôn có một nghiệm \( x = \cfrac{-b}{a} \)

+ Phương trình tích: Phương trình tích là phương trình có dạng:

\( A(x).B(x) = 0\)

+ Muốn giải phương trình \( A(x).B(x) = 0 \) ta giải các phương trình :

\( A(x) = 0 \)\( B(x) = 0\)

rồi lấy tất cả các nghiệm nhận được từ các phương trình đó.

+ Bước 1 : Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ).

+ Bước 2 : Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thức chung.

+ Bước 3 : Giải phương trình nhận được sau khi bỏ mẫu thức chung.

+ Bước 4 : Loại bỏ các nghiệm của phương trình ở bước trên mà không thoả điều kiện. Ghi tập nghiệm của phương trình.

Nhiều bài toán thực tế có thể giải bằng cách lập phương trình. Cách giải có thể phân tích thành những bước như sau :

Bước 1 : Lập phương trình, bao gồm:

+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+ Lập phương trình biểu thị sự tương quan của các đại lượng.

Bước 2 : Giải phương trình thu được.

Bước 3 : Kiểm tra các nghiệm của phương trình để loại các nghiệm không thích hợp điều kiện đặt ra rồi trả lời.