Chương 4

- Người ta nói rằng tập hợp số thực R được sắp thứ tự, nghĩa là cho hai số thực tùy ý a và b thì chắc chắn xảy ra một trong ba trường hợp sau :

+ Số a bằng số b, kí hiệu \( a = b \).

+ Số a nhỏ hơn số b, kí hiệu \( a < b \) .

+ Số a lớn hơn số b, kí hiệu \( a > b \).

- Nếu muốn nói rằng: a không nhỏ hơn b thì chỉ có thể a lớn hơn b hoặc a bằng b. Khi đó ta kí hiệu \( a ≥ b \).

- Muốn chỉ a không lớn hơn b thì a nhỏ hơn b hoặc a bằng b. Khi đó ta kí hiệu \( a ≤ b \)

- Khi biểu diễn trên trục số thì hai số bằng nhau biểu diễn bởi cùng một điểm, điểm biểu diễn số nhỏ hơn ở bên trái điểm biểu diễn số lớn hơn.

+ Các hệ thức dạng \( a<b, a>b, a ≤ b \) hoặc \( a ≥ b \) được gọi là các bất đẳng thức. Trong mỗi bất đẳng thức trên, ta gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.

+ Các bất đẳng thức \( a < b \)\( c < d \) được gọi là cùng chiều hoặc \( a > b \)\( c > d\) , hoặc \( a < b \)\( c < d \) hoặc \( a > b\)\( c > d \) là những bất đẳng thức cùng chiều.

(Cùng chiều là cùng vế trái nhỏ hơn vế phải, hoặc cùng vế trái lớn hơn vế phải, hoặc cùng vế trái không lớn hơn vế phải, hoặc cùng vế trái không nhỏ hơn vế phải).

1) Sự liên hệ giữa thứ tự và phép cộng: Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức thì được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

\( a<b \Rightarrow a + c<b + c\)

\( a≤ b \Rightarrow a + c<b + c\)

\( a>b \Rightarrow a + c>b + c;\)

\( a≥ b \Rightarrow a + c>b + c\)

2) Sự liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương: Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương thì được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

\( a < b, c > 0 \Rightarrow a.c < b.c \)

\( a ≤ b, c > 0 \Rightarrow a.c < b.c \)

\( a > b, c > 0 \Rightarrow a.c > b.c \)

\( a ≥ b, c > 0 \Rightarrow a.c > b.c\)

3) Sự liên hệ của thứ tự và phép nhân với số âm: Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

\( a < b, c < 0 \Rightarrow a.c > b.c \)

\( a ≤ b, c < 0 \Rightarrow a.c > b.c \)

\( a > b, c < 0 \Rightarrow a.c < b.c \)

\( a ≥ b, c < 0 \Rightarrow a.c < b.c \)

4) Tính chất bắc cầu:

\( a< b , b<c \Rightarrow a<c\)

\( a ≤ b ,b ≤ c \Rightarrow a < c\)

\( a > b , b > c \Rightarrow a > c\)

\( a≥ b , b ≥ c \Rightarrow a > c\)

+ \( a^2 ≥ 0\) với mọi \( a \in R \)

+ \( |a + b| ≤ |a| + |b| \) với mọi \( a, b \in R \)

+ Bất đẳng thức Cô-si:

Nếu \( a> 0 , b > 0 \Rightarrow \cfrac{a+b}{2} ≥ \sqrt{ab} \)

Dấu "=" xảy ra khi \( a=b\).

Chứng minh một bất đẳng thức nghĩa là lập luận để chỉ rõ bất đẳng thức đúng.

Muốn chứng minh bất đẳng thức ta sử dụng các tính chất của bất đẳng thức, đưa bất đẳng thức cần chứng minh về một bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.

Định nghĩa: Cho \( A(x) \) và \( B(x) \) là các biểu thức chứa cùng biến x. Hệ thức có dạng \( A(x) < B(x) \) ( hoặc \( A(x) < B(x) \) , hoặc \( A(x) > B(x) \) hoặc \( A(x) > B(x) \) ) được gọi là một bất phương trình một ẩn x. Biểu thức \( A(x) \) được gọi là vế trái, \( B(x) \) được gọi là vế phải của bất phương trình.

Tập hợp tất cả những số là nghiệm của một bất phương trình gọi là tập nghiệm của bất phương trình đó.

+ Hai bất phương trình \( A(x) < B(x) \) và \( C(x) < D(x) \) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm. Nghĩa là mỗi nghiệm của bất phương trình này là một nghiệm của bất phương trình kia và ngược lại.

+ Kí hiệu: \( A(x) < B(x) \Leftrightarrow C(x) < D(x) \)

Khi chuyển vế một hạng tử từ vế này sang vế kia của bất phương trình và đổi dấu hạng tử đó thì ta được một bất phương trình mới tương đương với bất phương trình đã cho.

Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng số dương và giữ nguyên chiều của bất phương trình hoặc nhân hai vê của bất phương trình với cùng một sô âm và đổi chiều của bất phương trình thì được bất phương trình mới tương đương với bất phương trình đã cho.

+ Giải bất phương trình là quá trình tìm tập nghiệm của bất phương trình ấy.

+ Thông thường, muốn giải một bất phương trình người ta dùng các quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, làm các phép tính và rút gọn để đưa bất phương trình cần giải thành những bất phương trình tương đương với nó, cuối cùng dẫn đến những bất phương trình cơ bản để xác định tập nghiệm.

Định nghĩa: Người ta gọi bất phương trình dạng \( ax + b < 0 \) ( hoặc \( ax + b > 0\) , hoặc \( ax + b < 0 \) , hoặc \( ax + b > 0 \) ), trong đó x là ẩn, a và b là các số đã cho với \( a ≠ 0 \) là bất phương trình bậc nhất một ẩn.