Chương 1

1) Định nghĩa: Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh góc kia.

\( \widehat{O_1 } \) đối đỉnh với \( \widehat{ O_3} \)

\( \widehat{O_2 } \) đối đỉnh với \( \widehat{ O_4} \)

2) Tính châ't: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

\( \widehat{O_1 } \) đối đỉnh với \( \widehat{ O_3} \Rightarrow \widehat{ O_1} = \widehat{O_3 } \)

\( \widehat{O_2 } \) đối đỉnh với \( \widehat{ O_4} \Rightarrow \widehat{ O_2} = \widehat{O_4 } \)

3) Chú ý: Điều ngược lại là không đúng; hai góc bằng nhau chưa chắc là hai góc đối đỉnh.

1) Định nghĩa: Hai đường thẳng xx' và yy' cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông được gọi là hai đường thẳng vuông góc với nhau, kí hiệu là \( xx' \perp yy’ \)

2) Tính chất: Có một và chỉ một đường thẳng \( a' \) đi qua một điểm O và vuông góc với một đường thẳng a cho trước.

Định nghĩa: Đường thẳng đi qua trung điểm của một đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng ấy được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng.

d đi qua trung điểm H của đoạn AB nên d là trung trực của AB.

Khi d là trung trực của AB, người ta cũng nói hai điểm A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng d.

Định nghĩa: hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung.

Chú ý: Trong mặt phẳng, hai đường thẳng có thể có 3 vị trí tương đối :

Trùng nhau (có vô số điểm chung)

Cắt nhau (chỉ có 1 điểm chung)

Song song với nhau (không có điểm chung)

Trường hợp cắt nhau hoặc song song với nhau là trường hợp hai đường thẳng phân biệt,

1) Định lí: Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong (hoặc một cặp góc đồng vị) bằng nhau thì hai đường thẳng a và b song song với nhau.


2) Chú ý:

Dấu hiệu này cho ta một cách chứng minh hai đường thẳng song song.

Để chứng minh hai đường thẳng song song, ta cần chỉ ra rằng chúng tạo với một đường thẳng thứ ba một cặp góc so le trong (hoặc một cặp góc đồng vị) bằng nhau.

1) Tiên đề Ơ-clit: qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

2) Chú ý :

- Tiên đề Ơ-clit nói về tính duy nhất của đường thẳng a', kẻ qua điểm A nằm ngoài đường thẳng a và song song với a.

- Ta có thể sử dụng tiên đề Ơ-clit vào việc chứng minh các điểm thẳng hàng : để chứng minh ba điểm A, B,C thẳng hàng, ta chỉ ra rằng AB, AC (hoặc AB, BC) cùng song song với một đường thẳng a nào đó.

1) Định lí : Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì :

+ Hai góc so le trong bằng nhau.

+ Hai góc đồng vị bằng nhau.

+ Hai góc trong cùng phía bù nhau.

Chẳng hạn :

\( a // b \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \widehat{A_1 }=\widehat{B_3 } ( so \: le \: trong ) \\ \widehat{A_1 }=\widehat{B_1 } ( đồng \: vị ) \\ \widehat{A_1 }+\widehat{B_4 }=180^0 ( hai \: góc \: trong \: cùng \: phía ) \end{matrix}\right. \)


2) Chú ý: Để chứng minh hai góc bằng nhau, ta chỉ ra rằng chúng là góc so le trong (hoặc đồng vị) tạo bởi một đường thẳng cắt đường thẳng song song.

1) Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

\( \left. \begin{matrix} a \perp m \\ b \perp m \end{matrix} \right \} \Rightarrow a//b \)


2) Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.

\( \left. \begin{matrix} a // b \\ a \perp m \end{matrix} \right \} \Rightarrow b \perp m \)


3) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

\( \left. \begin{matrix} a//b \\ b//m \end{matrix} \right \} \Rightarrow a//b//m \)

Chú ý :

Để chứng minh hai đường thẳng song song với nhau, ta có thể chứng minh chúng cùng vuông góc (hoặc cùng song song ) với một đường thẳng thứ ba.

Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại.