Chương 1

+ Định nghĩa: Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng \( AB, BC, CD, DA\) trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.

Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác.

+ Định lí: Tổng bốn góc của một tứ giác bằng 360°.

I. Định nghĩa: hình thang là một tứ giác lồi có 1 cặp cạnh song song.

Hình thang cân là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau.

II. Tính chất:

1) Hình thang có hai góc kề cùng 1 cạnh bên bù nhau.

2) Trong một hình thang cân:

a) Hai góc ở đáy bằng nhau.

b) Hai đường chéo bằng nhau.

c) Tổng hai góc đối bằng \( 180^0\).

3) Đường trung bình của hình thang thì song song vớí 2 đáy và bằng nửa tổng số đo của hai đáy.

III. Dấu hiệu nhận biết hình thang:

- Muốn chứng minh một tứ giác là hình thang, ta cần chứng minh nó có:

+ 1 cặp cạnh song song.

+ Hoặc 2 góc kề với một cạnh thì bù nhau.

- Muốn chứng minh một tứ giác là hình thang cân, ta chứng minh nó là một hình thang có một trong 3 tính chất 2.a, 2.b, 2.c.

I. Định nghĩa: Hình bình hành là một tứ giác lồi có các cạnh đối song từng đôi một.

II. Tính chất:

1) Các cạnh đối bằng nhau từng đôi một.

2) Các góc kề với mỗi cạnh bù nhau.

3) Các góc đối bằng nhau từng đôi một.

4) Các đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường.

III. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành.

Muốn chứng minh một tứ giác là hình bình hành, ta có thể chứng minh theo một trong các cách sau:

- Nó thỏa mãn định nghĩa hình bình hành.

- Có một trong bốn tính chất 1, 2,3,4.

- Có một cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.

I. Định nghĩa: hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

II. Tính chất

1) HCN có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mổi đường.

2) HCN có các tính chất của hình bình hành và hình thang cân.

3) HCN có hai trục đối xứng và 1 tâm đối xứng.

Áp dụng: Trong một tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền ( và ngược lại ).

III. Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật

Muốn chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật, ta có thể theo một trong các cách sau:

- Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.

- Hình thang cân có 1 góc vuông là hình chữ nhật.

- Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật.

- Hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

I. Định nghĩa: hình thoi là hình bình hành có tất cả các cạnh đều bằng nhau.

II. Tính chất

1) Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

2. Các đường chéo đồng thời là đường phân giác của các góc.

3) Có 1 tâm đối xứng.

III. Dấu hiệu nhận biết hình thoi

Muốn chứng minh một tứ giác là hình thoi, ta có thể theo một trong các cách sau:

- Chỉ rõ nó thỏa mãn định nghĩa hình thoi.

- Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau.

- Là hình bình hành có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau.

- Là hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc với nhau.

- Là hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc.

I. Định nghĩa: Hình vuông là hình bình hành có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

II. Tính chất:

1) Có 4 góc vuông.

2) Có 4 cạnh bằng nhau.

3) Có 2 đường chéo vuông góc với nhau và bằng nhau.

4) Có 2 đường chéo đồng thời là phân giác của các góc.

5) Có 2 trục đối xứng và 1 tâm đối xứng.

III. Dấu hiệu nhận biết hình vuông:

Muốn chứng minh một tứ giác là một hình vuông, ta có thể theo một trong các cách sau:

- Chứng minh nó là hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau.

- Là hình chữ nhật có 2 đường chéo vuông góc với nhau.

- Là hình thoi có một góc vuông.

I. Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh của tam giác.

II. Định lí 1. Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điễm của cạnh thứ ba.

III. Định lí 2: Đường trung bình của tam giác song song và bằng nửa cạnh đáy.

Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối các trung điểm của hai cạnh bên.

Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên của hình thang và song song với cạnh đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.

Định lí 2: Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và bằng một nửa tổng hai cạnh đáy.

1) Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

2) Hai hình đối xứng qua một đường thẳng: Hai hình đối xứng nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng qua d với một điểm thuộc hình kia và ngược lại.

- Hai đoạn thẳng đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì bằng nhau.

- Hai góc đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì bằng nhau.

- Haỉ tam giác đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì bằng nhau.

1) Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình F nếu mỗi điểm của hình F có hình đối xứng qua trục d cũng là một điểm của hình F.

2) Trong các tứ giác đặc biệt thì :

+ Hình thang cân có trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy.

+ Hình chữ nhật có hai trục đôi xứng đi qua tâm và vuông góc với các cạnh.

+ Hình thoi có hai trục đối xứng là hai đường chéo.

+ Hình vuông có bôn trục đối xứng.

3) Một góc có trục đối xứng là tia phân giác của góc ấy.

4) Tam giác cân có một trục đối xứng là đường thẳng chứa đường cao ứng với cạnh đáy.

5) Tam giác đều có ba trục đối xứng.

Hai điểm đôi xứng qua một điểm: hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này thì đôi xứng qua điểm O với một điểm thuộc hình kia và ngược lại.

- Hai đoạn thẳng đối xứng với nhau qua điểm O thì bằng nhau và song song với nhau.

- Hai góc đốỉ xứng với nhau qua điểm O thì bằng nhau.

- Hai tam giác đối xứng với nhau qua điểm O thì bằng nhau.

- Điểm O gọi là tâm đôi xứng của một hình F nếu điểm đối xứng qua O của mỗi điểm thuộc hình F cũng thuộc hình F.

- Đường tròn có tâm đối xứng là tâm của nó.

- Trong các tứ giác đặc biệt thì : hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông có một tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.