Chương 3

Tỉ số hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.

Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A'B' và C'D’ nếu ta có tỉ lệ thức \( \cfrac{AB}{CD} = \cfrac{A'B'}{C'D'}\)

Chú ý : Đẳng thức tỉ lệ của các đoạn thẳng cũng có các tính chất của đẳng thức tỉ lệ giữa các số.

Từ tỉ lệ thức: \( \cfrac{AB}{CD} = \cfrac{A'B'}{C'D'}\)

Ta suy ra được:

+ \( \cfrac{AB}{A'B'} = \cfrac{CD}{C'D'}\)

+ \( AB.C'D' = A'B'.CD \)

+ \( \cfrac{AB}{CD} = \cfrac{A'B'}{C'D'}= \cfrac{AB ± A'B'}{CD ± C'D'} \)

+ \( \cfrac{AB}{AB ± CD} = \cfrac{A'B'}{A'B' ± C'D'} \)

1) Định lí thuận (Định lí Ta-let): Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

\( \left\{\begin{matrix} ΔABC \\ MN //AB \end{matrix} \right. \Rightarrow \cfrac{CM}{CA} = \cfrac{CN}{CB} ; \: \cfrac{CM}{MA} = \cfrac{CN}{NB} \)

2) Định lí đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì nó song song với cạnh thứ ba của tam giác.

\( \left\{\begin{matrix} ΔABC \\ \cfrac{CM}{CA} = \cfrac{CN}{CB} \end{matrix} \right. \Rightarrow MN //AB \)

3) Hệ quả: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

\( \left\{\begin{matrix} ΔABC \\ MN //AB \end{matrix} \right. \Rightarrow \cfrac{CM}{CA} = \cfrac{CN}{CB}= \cfrac{MN}{AB} \)

Định lí: Đường phân giác trong của một góc của tam giác thì chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh với hai đoạn thẳng ấy.

\( \left\{\begin{matrix} ΔABC \\ \widehat{A_1 } = \widehat{A_2 } \end{matrix}\right. \Rightarrow \cfrac{AC}{AB} = \cfrac{DC}{DB} \)

Chú Ý : Định lí vẫn đúng với các đường phân giác ngoài của tam giác.

\( \left\{\begin{matrix} ΔABC \\ \widehat{A_3 } = \widehat{A_4 } \end{matrix}\right. \Rightarrow \cfrac{AB}{AC} = \cfrac{BE}{CE} \)

1) Định lí mở đầu: Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì tạo nên một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.

2) Ba trường hợp đồng dạng của tam giác:

+ Trường hợp Cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c): Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh cùa tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng với nhau.

+ Trường hợp Cạnh - góc - cạnh (c.g.c) : Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

+ Trường hợp góc - góc (g-g) : Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

3) Trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu :

+ Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng một góc nhọn tam giác vuông kia.

+ Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.

+ Cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.

4) Áp dụng:

+ Định lí 1: Trong hai tam giác đồng dạng thì tỉ số các đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

+ Định lí 2: Trong hai tam giác đồng dạng thì tỉ số các diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.