Chương 4

Ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng duy nhất đi qua chúng. Ta nói : "Ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng duy nhất".

Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì có một đường thẳng chung duy nhất đi qua điểm ấy. Đường thẳng chung này được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.

Một đường thẳng có hai điểm thuộc một mặt phẳng thi đường thẳng đó nằm trong mặt phẳng.

\( A \in a\) và \( B \in a \) mà \( A \in mp (P) \) và \( B \in mp (P) \) thì \( a ⊂ mp (P) \)

Ta cũng nói : "đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P)" hoặc "mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a".

Một đường thẳng có một điểm chung duy nhất với một mặt phẳng, gọi là đường thẳng cắt mặt phẳng.

Một đường thẳng không có điểm chung nào với mặt phẳng được gọi là đường thẳng song song với mặt phẳng.

Hai đường thẳng trong không gian có thể :

1) Cùng thuộc một mặt phẳng

+ Nếu chúng có hai điểm chung thì chúng trùng nhau.

+ Nếu chúng có một điểm chung duy nhất thì được gọi là cắt nhau.

+ Nếu chúng không có điểm chung nào thì được gọi là song song với nhau.

Chú ý : Hai đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng.

2) Không cùng thuộc một mặt phẳng

Trong trường hợp này chúng được gọi là chéo nhau.

Chú ý : Hai đường thẳng chéo nhau cũng là hai đường thẳng không có điểm chung, nhưng chúng không cùng thuộc một mặt phẳng, hiểu theo nghĩa là không có bất kì mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng đó.

1) Định nghĩa:

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng và không có điểm chung.

Chú ý : Từ định nghĩa này, ta suy ra : "hai đường thẳng song song xác định một mặt phẳng".

2) Tính chất

Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

\( \left\{ \begin{matrix} a //c \\ b//c \end{matrix} \right. \Rightarrow a // b \)

1) Định nghĩa:

Một đường thẳng và một mặt phẳng không có điểm chung nào thì được gọi là song song với nhau.

2) Tính chất:

Một đường thẳng a không thuộc mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng a' thuộc mặt phẳng (P) thì đường thẳng a song song với mặt phẳng (P).

\( \left. \begin{matrix} a \not \subset mp (P) \\ a' \subset mp (P) \\ a // a' \end{matrix}\right\} \Rightarrow a // mp(P) \)

1) Định nghĩa:

Hai đường thẳng a, b cùng thuộc mặt phẳng (P) và giao nhau tại điểm A. Đường thẳng d vuông góc với cả hai đường thẳng a, b tại điểm A, được gọi là đường thẳng vuông góc với mp (P) tại điểm A.

2) Tính chất:

Đường thẳng \( d \perp mp (P) \) thì vuông góc với mọi đường thẳng thuộc \( mp (P)\).

\( \left. \begin{matrix} d \perp a \\ d \perp b \\a \subset mp (P) \\ b \subset mp (P) \end{matrix}\right\} \Rightarrow d \perp mp(P) \)

Mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng a mà a vuông góc với mặt phẳng (Q) thì hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

\( \left. \begin{matrix} a \subset mp (P) \\ a \perp mp (Q) \end{matrix} \right\} \Rightarrow mp (P) \perp mp (Q) \)

1. Định nghĩa

Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có :

- Hai đáy là hai đa giác phẳng bằng nhau, nằm trong hai mặt phẳng song song với nhau.

- Các cạnh bên vuông góc với các mặt phẳng chứa các đa giác đáy.

2. Tính chất

- Các cạnh bên của lăng trụ đứng thì song song với nhau và bằng nhau. Độ dài của cạnh bên là chiều cao của lăng trụ đứng.

- Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình chữ nhật.

3. Lăng trụ đều

Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều được gọi là lăng trụ đều. Như vậy, lăng trụ đều là hình lăng trụ:

+ Có đáy là đa giác đều.

+ Có cạnh bên vuông góc với các mặt phẳng chứa đa giác đáy.

Lăng trụ đều có các mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau.

1. Định nghĩa :

Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.

2.Tính chất

Trong hình hộp đứng thì các mặt bên đối diện là các hình chữ nhật bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song với nhau.

1. Định nghĩa

Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

2. Tính chất

- Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật.

- Nếu các kích thước của hình chữ nhật là \( AB = a, BC = b, BF= c \) và đường chéo \( AG = d \), ta có \( d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 } \)

- Các đường chéo của hình hộp chữ nhật bằng nhau.

1. Định nghĩa

Hình lập phương là hình có 6 mặt là hình vuông.

2. Tính chất

Nếu gọi cạnh của hình lập phương là a thì các đường chéo của hình lập phương bằng nhau và bằng \( d = a\sqrt{3} \).

Diện tích xung quanh \( S_{xq}\)

Diện tích toàn phần \( S_{tn} \)

Thể tích V

Hình lăng trụ đứng

(Hình hộp đứng)

2p : chu vi đáy

s : diện tích đáy

l: canh bên

\( S_{xq} = 2p .l \)

\( S_{tp} = S_{xq}+ 2S\)

\( = 2p.l + 2S \)

\( V = S.l \)

Hình hộp chữ nhật

a, b : cạnh đáy

c : chiều cao

\( S_{xq} = 2(a+b).c \)

\( S_{tp} = 2(a+b).c + 2ab \)

\( V = abc \)

Hình lập phương cạnh a

\( S_{xq}=4a^2 \)

\( S_{tn} = 6a^2\)

\( V = a^3 \)

- Hình chóp là hình có đáy là một đa giác phẳng, các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh.

- Đoạn thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với mặt phẳng đáy là đường cao của hình chóp.

1. Định nghĩa

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và các mặt bên là các tam giác cân có đáy là cạnh của đa giác đáy.

2. Tính chất

- Trong hình chóp đều, chân đường cao trùng với tâm của đường tròn đi qua các đỉnh của đa giác đáy.

- Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau.

- Chiều cao kẻ từ đỉnh của các mặt bên bằng nhau và được gọi là trung đoạn của hình chóp đều.

- Các canh bên của hình chóp đều bằng nhau.

Hình chóp S.ABC là hình chóp tứ giác đều, có SH : đường cao; SM : trung đoạn.

- Cắt hình chóp đều bằng một mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy thì phần hình chóp nằm giữa mặt phẳng đó và đáy 1 hình chóp là hình chóp cụt đều.

- Mặt bên của hình chóp cụt đều là các hình thang cân bằng nhau.

Diện tích xung quanh \( S_{xq}\)

Diện tích toàn phần \( S_{tp}\)

Thể tích V

Hình chóp

S : diện tích đáy

h : chiều cao

\( S_{xq }=\) Tổng diện tích các mặt bên

\( Stp = S_{xq}+ S \)

\( V = \cfrac{1}{3} S.h \)

Hình chóp đều

2p: chu vi đáy

l : trung đoạn

S: diện tích đáy

h : đường cao

\( S_{xq }= p.l \)

\( S_{tp} = p.l + S \)

\( V = \cfrac{1}{3}.S.h \)