Chương 3

1) Định nghĩa: Góc ở tâm là góc có đỉnh là tâm của đường tròn.

\( \widehat{ AOB} \) là góc ở tâm chắn cung AmB.

2) Số đo cung:

- Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

\( sđ \widehat{ AOB} = sđ \overset{\frown }{AmB} \)

- Số đo của cung lón bằng \( 360^0 \) trừ số đo cung nhỏ.

\( sđ \overset{\frown }{AnB} = 360^0 - sđ \overset{\frown }{AmB} \)

- Số đo cung nửa đường tròn bằng \( 180^0\).

- Số đo của cả đường tròn bang82v \( 360^0 \).

Trong một đường tròn hay 2 đường tròn bằng nhau:

- Hai cung có số đo bằng nhau được gọi là hai cung bằng nhau.

- Trong hai cung thì cung nào có số đo lớn hơn là cung lớn hơn và ngược lại.

- Nếu C là điểm nằm trên cung AB thì: \( sđ \overset{\frown }{AB} = sđ \overset{\frown }{AC} + sđ \overset{\frown }{CB} \).

Định lí 1: Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

\( \overset{\frown }{AB} = \overset{\frown }{CD} ⇒AB = CD \)

- Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

\( AB = CD ⇒ \overset{\frown }{AB} = \overset{\frown }{CD}\)

Định lí 2: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh cắt đường tròn.

\( \widehat{ BAC} \) là góc nội tiếp chắn cung BmC.

Định lí: Số đo của góc nội tiếp bằng một nửa số đo cung bị chắn.

\( sđ \widehat{ BAC} =\cfrac{1 }{2 } sđ \overset{\frown }{BmC} \)

Hệ quả:

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hay hai cung bằng nhau của một đường tròn thì bằng nhau.

- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

- Góc nội tiếp ( nhỏ hơn \( 90^0\) ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung.

Định lí: Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng một nửa số đo cung bị chắn.

\( sđ \widehat{ BAx } = \cfrac{1 }{2 } sđ \overset{\frown }{AB} \)

Định lí 1: Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng một nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

\( sđ \widehat{ AMB}= \cfrac{1 }{2 } ( sđ \overset{\frown }{AB} + sđ \overset{\frown }{CD} ) \)

Định lí 2: Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn.

\( sđ \widehat{ AMB}= \cfrac{1 }{2 } ( sđ \overset{\frown }{CD} - sđ \overset{\frown }{AB}) \)

1) Cung chứa góc \( α\).

Cho một đoạn thẳng AB và một góc \( α\). Quỹ tích những điểm M trong mặt phẳng sao cho \( \widehat{ AMB } = α \) là hai cung tròn chứa góc \( α\), dựng trên đoạn thẳng AB.

2) Cách dựng cung chứa góc:

Để dựng cung chứa góc \( α \) trên đoạn AB ta làm như sau:

- Vẽ tia Ax tạo với AB một góc bằng góc \( α\).

- Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax tại A.

- Vẽ đường trung trực d của đoạn AB.

- Lấy giao điểm O của d và Ay là tâm của đường tròn, vẽ cung tròn có tâm là O và bán kính là OA.

1) Định nghĩa: Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn là tứ giác nội tiếp.

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; OA).

2) Định lí:

- Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng \( 180^0 \).

- Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối bằng \( 180^0 \) thì tứ giác đó nội tiếp được trong đường tròn.

Định lí: mọi đa giác đều luôn có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp.

1) Công thức tính độ dài đường tròn:

\( C = 2 \pi R = \pi d \)

C: độ dài đường tròn

R: bán kính

d: đường kính

2) Độ dài cung tròn:

\( l = \cfrac{ \pi R.n}{ 180^0} \)

l: độ dài cung tròn

n: số đo góc ở tâm chắn cung l

R: bán kính

1) Diện tích hình tròn

\( S = \pi R^2 = \cfrac{ 1}{4 } \pi d^2 \)

2) Diện tích hình quạt tròn

\( S = \cfrac{ \pi R^2 n}{360 } = \cfrac{ lR}{2 } \)

Để giải một bài toán quỹ tích, ta chứng minh hai mệnh đề chủ yếu:

a) Phần thuận: chứng minh rằng điểm M có tính chất p thì thuộc hình H.

b) Phần đảo: chứng minh rằng điểm M' thuôc hình H có tính chất p.

1) Quỹ tích những điểm cách đều điểm O một khoảng R không đổi là đường tròn tâm O bán kính R.

2) Quỹ tích các điểm các điểm cách điều 2 điểm cố định là đường trung trực của d9oan6 thẳng đó.

3) Quỹ tích những điểm cách đều 2 cạnh của một góc là tia phân giác của góc đó.

4) Quỹ tích những điểm có khoảng cách đến một đường thẳng cố định bằng một khoảng cố định là hai đường thẳng song song với đường thẳng cho trước đó.

5) Quỹ tích những điểm luôn nhìn hai đầu mút của một đoạn thẳng dưới một góc \( α \) là hai cung chứa góc \( α \) dựng trên đường thẳng đã cho.

6) Quỹ tích những điểm nhìn một đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.