Chương 1

- Tập hợp là khái niệm gốc của Toán học. Nó được hình dung qua các ví dụ. Người ta nói tập hợp các chữ số, tập hợp các chữ cái...

- Cách đặt tên tập hợp: người ta thường dùng các chữ cái in hoa để đặt tên cho các tập hợp.

- Phần tử của một tập hợp là cá thể tham gia tạo nên tập hợp đó.

Ví dụ : Tập hợp các chữ số \( A = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\} \). Mỗi chữ số, chẳng hạn 2, là một phần tử của tập hợp A.

- Kí hiệu: \(3 \in A \) để nói 3 là một phần tử của A hay 3 thuộc A

Khi viết a \( \not \in A \) có nghĩa là a không phải là phần tử của A hay a không thuộc tập hợp A.

- Thường thường có hai cách viết một tập hợp:

+ Liệt kê các phần tử của tập hợp (mỗi phần tử được liệt kê một lần, thứ tự liệt kê tùy ý).

+ Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp

- Một tập hợp có thể có một phần tử, hai phần tử, nhiều phần tử.

- Tập hợp gọi là có vô số phần tử khi không thể đếm hết số phần tử của nó. Một tập hợp có một số rất lớn phần tử đến hàng chục tỉ cũng không phải là có vô số phần tử.

- Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập hợp rỗng, kí hiệu là : \( Φ\)

- Ghi chú : Tập hợp { 0 } có một phần tử là sô' 0. Nó không phải là tập hợp rỗng

Ví dụ: hai tập hợp :

\( A = \{2; 4\}\)

\( B = \{1; 2; 3; 4; 5 \} \)

- Ta thấy : mỗi phần tử của A là một phần tử của B. Ta bảo A là tập hợp con của B, kí hiệu là \( A ⊂ B \) . Ta còn bảo B chứa A hoặc A được chứa trong B.

- Ghi chú: Cho A là tập hợp tùy ý thì : \( Φ \in A \) và \( A ⊂ A \) ; tập hợp \( Φ \) là tập hợp con của một tập hợp bất kì, một tập hợp A bất kì là tập hợp con của chính nó.

- Hai tập hợp bằng nhau: Tập hợp A bằng tập hợp B, kí hiệu \( A = B \) nếu mỗi phần tử của A là một phần tử của B và ngược lại mỗi phần tử của B là một phần tử của A, tức là \( A \in B \) và \( B \in A \).

- Ví dụ: \( A = \{0; 1; 2; 3; 4 \} \)

\( B = \{0;1;2;3;4 \} \)

Ta có: A = B

Ví dụ: Cho ba tập hợp :

\( A = \{ 1; 2; 3; a; b\} \)

\( B = \{3; 5; b; c; d \} \)

\( C = \{ 3; b \} \)

- Ta thấy C gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B. Ta bảo C là tập hợp giao của A và B (nói gọn là giao của A và B)

- Kí hiệu: \( C = A ∩ B \)

- Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là N

\( N = \{0; 1; 2; 3; 4; ...\} \)

- Tập hợp các số tự nhiên khác 0, kí hiệu là N*

\( N^* = \{ 1; 2; 3; 4; ...\} \)

- Dùng thước thẳng, bắt đầu từ điểm 0 vạch thẳng từ trái sang phải. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị đo. Bắt đầu từ 0 đặt liên tiếp đoạn thẳng đơn vị, ta có một tia số.

- Muôn biểu diễn số tự nhiên a ta lấy trên tia sô' điểm cách 0 khoảng cách a đơn vị đo đã chọn. Điểm biểu diễn sô' tự nhiên a gọi là điểm a.

- Cho hai số tự nhiên khác nhau thì có một số nhỏ hơn số kia. Trên tia số, điểm biểu diễn số nhỏ ở bèn trái điểm biểu diễn số lớn.

- Số a nhỏ hơn sô' b kí hiệu là a < b. Khi đó ta cũng nói rằng b lớn hơn a và kí hiệu b > a.

- Quan hệ thứ tự các sô' có tính chất bắc cầu (tính chất truyền) nghĩa là: a < b và b < c thì a < c ( hoặc a > b và b > c thì a > c ).

- Ghi chú : Kí hiệu a ≥ b để chỉ a lớn hơn b hoặc a = b

- Tập hợp N có sô' nhỏ nhất là 0 và không có số lớn nhất.

- Tập hợp N* có số nhỏ nhất là 1 và không có số lớn nhất.

-Nếu giữa hai số tự nhiên a và b không có sô' tự nhiên nào khác và a < b thì a gọi là sô liền trước b và b là số liền sau a.

- Để ghi số tự nhiên trong hệ thập phân người ta dùng 10 chữ số \( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \) và giá trị của mỗi chữ số trong một số thay đổi theo vị trí của nó theo qui tắc "mười đơn vị ở một hàng làm thành một đơn vị ở hàng liền trước".

Ví dụ : Cho số 245, ta có :

245= 2.100 + 4.10 + 5

- Ghi chú : Để ghi một số tự nhiên nào đó không cụ thể, chẳng hạn một số có bôn chữ số ghi trong hệ thập phân ta viết : \( \overline{abcd} \) ta phải hiểu các chữ a, b, c, d là thay cho chữ sô nào đó trong 10 chữ sô' \( 0, 1, 2, 3,4,5,6,7,8, 9\) và điều kiện chữ số đầu tiên a ≠ 0.

- Nếu viết \( abcd \) không cần dấu gạch ngang bên trên thì đây có nghĩa là tích: \( a.b.c.d \) mà a, b, c, d là các số nào đó.

Ngày nay, trong một số trường hợp người ta cũng sử dụng cách ghi số tự nhiên của người cổ La Mã. Người ta dùng 7 chữ số mà kí hiệu của chúng và giá trị tương ứng trong hệ thập phân như sau :

Kí hiệu chữ
số La Mã

I

V

X

L

C

D

M

Giá trị
tương ứng
trong hệ
thập phân

1

5

10

50

100

500

1000

- Trong cách ghi của người La Mã các chữ số không thay đổi theo vị trí các chữ số: giá trị lớn ghi trước các chữ số có giá trị nhỏ hơn.

- Các chữ số V, L, D không ghi quá một lần, các chữ số M, C, X, I không ghi quá 3 lần.

- Giá trị của một số bằng tổng các thành phần của nó. Đặc biệt giá trị nhỏ đứng trước làm giảm giá trị của chữ số giá trị lớn đứng liền sau.

- Tổng: Số tự nhiên a cộng với số tự nhiên b được số tự nhiên c .

Kí hiệu là : a + b = c

Các số a và b: là các số hạng; c : là tổng (của a và b).

- Tích: Số tự nhiên a nhân với số tự nhiên b được số tự nhiên d.

Kí hiệu là : a x b = d , hoặc a.b = d

Các số a và b : là các thừa số ; d gọi là tích (của a và b).

- Ghi chú : Trong một tích mà các thừa sô đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số thì có thể không dùng dấu phép tính nhân.

Ví dụ : \( 3.a.b = 3ab\)

+ Tính chất giao hoán

Khi đổi chỗ các sô' hạng trong một tổng thì tổng không đổi

a + b = b + a

Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không đổi

a.b = b.a

+ Tính chất kết hợp

Muôn cộng một tổng của hai số với số thứ ba ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và sô' thứ ba

\( (a + b) + c = a + (b + c)\)

Muốn nhân một tích của hai sô' với số thứ ba ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

\( (a.b).c = a.(b.c) \)

+ Cộng một số với 0, nhân một số với 1.

Tổng của một số với 0 bằng chính sô' đó.

\( a+0=0+a=a\)

Tích của một số với 1 thì bằng chính sô' đó.

\( a = a.1 = a \)

+ Tính chất phân phối của phép nhân đôi với phép cộng.

Muốn nhân một số với một tổng ta có thể nhân số đó với từng số hạng của tổng rồi cộng các kết quả lại.

\( a.(b + c) = a.b + a.c \)

Ghi chú: Các tính chất nêu trên đây của tổng, tích hai sô' có thể mở rộng cho tổng, tích của nhiều số.

\( a+b+c+d = d+b+a+c = b + a + d + c = ...\)

\( a.b.c.d = c.b.a.d = d.a.c.b = ...\)

\( (a + b) + c + d= a + (b + c) + d = (a + b) + (c + d) = ...\)

\( (a.b).c.d = a.(b.c).d = a.(b.c.d) = ...\)

\( a.(b + c + d) = a.b + a.c + a.d\)

- Phép trừ: Số tự nhiên a trừ số tự nhiên b được số c kí hiệu là: \( a - b = c\)

a : là số bị trừ, b : số trừ, c: là hiệu.

- Điều kiện để có hiệu a - b : a > b.

- Số bị trừ = số trừ + hiệu : a = b+c

- Phép chia hết: Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b ≠ 0, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a thì ta nói a chia hết cho b và kí hiệu \( a : b = x \)

a: là số bị chia : b: là số chia ; x: là thương.

Ví dụ : 15 : 5 = 3

vì 5.3 = 15 nên 15 chia hết cho 5.

- Phép chia có dư: Cho hai số tự nhiên a và b trong đó \( b ≠ 0 \) , ta luôn tìm được hai sô tự nhiên q và r duy nhất sao cho \( a = b.q + r \) , trong đó 0 < r < b.

+ Nếu \( r = 0 \) ta có phép chia hết.

+ Nếu r ≠ 0 ta có phép chia có dư.

( a: số bị chia ; b: số chia ; q: thương, r: số dư.)

Ví dụ : 39 = 7.5 + 4

39 là số bị chia, 7 là số chia, 5 là thương, 4 là số dư.

- Ứng dụng : Ta có thể biểu diễn một số tự nhiên a dưới dạng một biểu thức của phép chia có dư như:

\( a = 3k + r , k \in N, r \in (0, 1, 2)\)

\( a = 5t + r , t \in N , r \in (0, 1, 2, 3, 4) \)

...

- Luỹ thừa: Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.

Kí hiệu: \( a^n = \underset{n \: thừa \: số \: a}{\underbrace{a.a.a...a}} \) ( a≠ 0 )

( a: cơ số ; n:số mũ )

- Phép nhân nhiều thừa số bằng nhau gọi là phép nâng lên lũy thừa.

Ví dụ : Lũy thừa bốn của 3 là: \( 3^4 = 3.3.3.3\)

- Ghi chú : Quy ước : \( a^1 = a \)

\( a^2 \) còn được gọi là a bình phương hay bình phương của a.
\( a^3 \) còn được gọi là a lập phương hay lập phương của a

- Quy tắc: \( a^m . a^n = a^{m+n} \)

- Ví dụ: \( 2^3.2^4 = 2^{3 + 4 }= 2^7\)

- Quy tắc: \( a^m . a^n = a^{m - n} \)

( Với m > n và a ≠ 0 )

- Ghi chú : Quy ước : \( a^0 = 1\)

- Ứng dụng : Mỗi số tự nhiên ghi trong hệ thập phân đều là tổng các lũy thừa của 10.

Ví dụ : \( 35416 = 30000 + 5000 + 400 + 10 + 6\)

= \( 3.10000 + 5.1000 + 4.100 + 10 + 6\)

= \( 3.10^4 + 5.10^3 + 4.10^2 + 10^1 + 6.10^0 \)

1) Kí hiệu phép chia hết

Cho \( a, b \in N, b ≠ 0 \) , nếu có số \( k \in N \) sao cho \( a = b.k \) thì ta bảo a chia hét cho b, kí hiệu: \( a \: \vdots \: b\)

Nếu a không chia hết cho b ta kí hiệu: \( a \: \not \vdots \: b\)

2) Tính chất của phép chia hết

- Nếu tất cả các sô' hạng của một tổng cùng chia hết cho một số (khác 0) thì tổng chia hết cho số đó:

\( a \: \vdots \: m; b \: \vdots \: m và c \: \vdots \: m => (a + b + c) \: \vdots \: m \)

- Nếu sô' bị trừ và sô' trừ cùng chia hết cho một sô' ( khác 0) thì hiệu chia hết cho sô' đó:

\( a > b; a \: \vdots \: m và b \: \vdots \: m => (a - b) \: \vdots \: m\)

- Nếu trong một tổng chỉ có một sô' hạng không chia hết cho một số còn các số hạng khác cùng chia hết cho số đó thì tổng cũng không chia hết cho số đó:

\( a \: \vdots \: m; b \: \vdots \: m và c \: \not \vdots \: m=> (a + b + c) \: \not \vdots \: m\)

- Nếu sô bị trừ chia hết cho một số, số trừ không chia hết cho số đó hoặc số bị trừ không chia hết cho một số còn số trừ chia hết cho sô' đó thì hiệu không chia hết cho sô đó

\( a>b; a \: \vdots \: m và b \: \not \vdots \: m => (a - b) \: \not \vdots \: m\)

\( a>b; a \: \not \vdots \: m và b \: \vdots \: m=>(a-b) \: \not \vdots \: m\)

Các số có chữ số tận cùng thuộc { 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 } thì chia hết cho 2chỉ những số đó mới chia hết cho 2.

Ví dụ: \( 26 \: \vdots \: 2; 39 \: \not \vdots \: 2 \)

Các số có chữ sô tận cùng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 chỉ những số đó mới chia hết cho 5.

Ví dụ: \( 270 \: \vdots \: 5; 65 \: \vdots \: 5; 82 \: \not \vdots \: 5\)

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9.

Ví dụ: \( 378 \: \vdots \: 9 \) vì \( (3 + 7 + 8)=18 \: \vdots \: 9\)

\( 265 \: \not \vdots \: 9 \) vì \( (2 + 6 + 5)= 13 \: \not \vdots \: 9\)

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ các số đó mới chia hết cho 3.

Ví dụ : \( 351 \: \vdots \: 3 \) vì \( (3 + 5 + 1) = 9 \: \vdots \: 3 \)

\( 127 \: \not \vdots \: 3 \) vì \( (1 + 2 + 7) = 10 \: \not \vdots \: 3\)

Ghi chú : Các sô chia hết cho 9 thì chia hết cho 3. Đảo lại những sô chia hết cho 3 có thể không chia hết cho 9.

+ Cho \( a, b \in N \) , nếu \( a \: \vdots \: b \) ta nói b là ước của a, a là bội của b.

Tập hợp tất cả các ước của a kí hiệu : Ư(a)

Tập hợp các bội của a kí hiệu : B(a)

Ví dụ : \( Ư(12) = \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12\} \)

\( B(6) = \{0 ; 6 ; 12 ; 18 ; 24 ;...\} \)

Tổng quát, tập hợp \( B(a) = \{ a.k ; k \in N \} \)

+ Cách tìm ư(a) và B(a):

Để tìm các ước của số a ta thử chia a lần lượt cho 1, 2, 3, .. để xem a chia hết cho số nào thì số đó là ước của a.

Để tìm các bội của số a ta nhân a lần lượt với 0, 1, 2, 3, ...

Ghi chú : Số 1 là ước của sô' tự nhiên a bất kì.

Số tự nhiên a ≠ 0 là ước của chính số a.

Số 0 là bội của mọi số tự nhiên.

Không có số nào có ước là số 0.

- Số nguyên tố: là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

- Hợp số: là số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn hai ước.

Ví dụ: 2 chỉ có các ước là 1 và 2. Vậy 2 là số nguyên tố.

- Bảng các số nguyên tố nhỏ hơn 100

( Số nguyên tố: các số màu cam ; Hợp số: các số màu đen )

2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99

- Phân tích số đó ra thừa số nguyên tố: là viết số đó dưới dạng tích của các thừa số nguyên tố.

- Ví dụ: \( 28 = 2.2.7 = 2^2.7 \)

- Ước chung của hai hay nhiều số: là ước của tất cả các số đó.

- Kí hiệu ước chung của a và của b: ƯC(a;b)

- Ưc chung lớn nhất của hai hay nhiều số: là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của chúng.

- Ước chung lớn nhất của các sô' a, b kí hiệu là ƯCLN(a, b)

- Kí hiệu ƯCLN(a, b, c) chỉ ước chung lớn nhất của ba số a, b, c.

- Nếu ƯCLN(a, b) = 1 ta bảo a và b nguyên tô' cùng nhau.

Bước 1 : Phân tích a và b ra thừa số nguyên tố.

Bước 2 : Chọn ra các thừa sô' nguyên tố chung.

Bước 3 : Lập tích các thừa sô' đã chọn, mỗi thừa sô' lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Ta có : ƯC(a, b) = Ư( ƯCLN(a, b) )

Ví dụ: ƯCLN(420, 540) = 60

ƯC(420, 540) = Ư(60) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 12; 10; 20; 15; 30; 60}

- Bội chung: của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

- Kí hiệu: BC(a, b) là tập hợp tất cả các bội chung của a và b

BC(a, b, c) là tập hợp tất cả các bội chung của a, b và c.

Bội chung nhỏ nhất: của hai hay nhiều số là số khác 0, nhỏ nhất trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Kí hiệu : bội chung nhỏ nhất của a, b là BCNN(a, b)

bội chung nhỏ nhất của a, b, c là BCNN(a, b, c)

- Muốn tìm bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện :

Bước 1 : Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2 : Chọn ra các thừa sô' nguyên tô' chung và riêng

Bước 3 : Lập tích các thừa số dã chọn ở bước 2 và mỗi thừa sô' lấy với số mũ lớn nhất của nó. Đó là BCNN phải tìm.

Ví dụ : Tìm BCNN(24, 10)

Ta có : \( 24 = 2^3.3 ; 10 = 2.5 \)

Các thừa sô nguyên tô' chung và riêng là: 2, 3, 5.

Từ đó ta có : BCNN(24, 10) = \( 2^3.3.5 = 120 \)

Ta có: BC (a, b) = B ( BCNN (a, b ) )

BC (a, b, c) = B (BCNN (a, b, c))

Ví dụ : BCNN (24, 10) = 120

BC (24, 10) = B (120) = { 120; 240; 360; ...}