Chương 2

- Các sô' -1; -2; -3; -4; -5; ... là các số nguyên âm.

- Các sô' +1; +2; +3; +4; +5; ... là các số nguyên dương.

Thường thường người ta bỏ các dấu "+" trước các số nguyên dương.

- Số nguyên: là tập hợp bao gồm số 0 , số nguyên âm, các số nguyên dương . Kí hiệu :Z.

\( Z =\{ ...; -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; ... \} \)

- Trong hai số nguyên khác nhau có một số nhỏ hơn số kia.

- Trên trục số, điểm a nằm bên trái điểm b thì sô nguyên a nhỏ hơn số nguyên b, kí hiệu a < b. Khi đó ta cũng nói số b lớn hơn số a và viết b > a.

- Nếu a < b và giữa a và b không có sô' nguyên nào ta bảo a là số liền trước b, còn b là số liền sau.

- Ví dụ : Cho hai số -3 và -2 thì -3 là số liền trước -2 còn -2 là số liền sau -3.

- Ta thấy thứ tự trong tập hợp Z có tính chất bắc cầu (tính chất truyền), nghĩa là các sô' nguyên a, b, c mà: a > b và b > c thì a > c

-Từ đó suy ra : số nguyên dương lớn hơn số nguyên âm.

- Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của số nguyên a, kí hiệu là \( | a | \).

- Ví dụ : \( |+4 | =4 \) vì điểm + 4 cách 0 bốn đơn vị.

\( |-5| = 5 \) vì điểm -5 cách 0 năm đơn vị.

- Để cộng hai số nguyên cùng dấu ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt trước kết quả dấu chung của chúng.

Ví dụ : \( (+3) + (+8) = + (| +3 | + | +8 |) = + (3 + 8) = +11 = 11 \)

\( (-2)+ (-7) = - (| -2|+ | -7 |) = - (2 + 7) = -9 \)

- Để cộng hai sô nguyên trái dấu ta lấy giá trị tuyệt đốỉ lớn trừ giá trị tuyệt đối nhỏ rồi đặt trước hiệu dấu của số nguyên có giá trị tuyệt đối lớn.

Ví dụ : \( (-3) + (+7) = +(|+7| - |3|) = + (7 - 3) = + 4= 4 \)

\( (-9) + (+4) = - (| -9| - | +4|) = -(9-4)= -5 \)

- Ghi chú : Tương tự như đối với các số tự nhiên, với a, b, c là các số nguyên mà \( a + b = c \) ta gọi a, b là các số hạng, c là tổng (của a và b).

Với mọi \( a, b \in Z \) ta có :

+ Tính chất giao hoán :

\( a + b = b + a \)

+ Tính chất kết hợp:

\( (a + b) + c = a + (b + c) \)

+ Cộng với số 0:

\( a+0=0+a=a\)

+ Cộng với số đối :

Số đối của a kí hiệu là - a.

\( a + (-a) = 0 \)

Đảo lại, nếu tổng của hai số nguyên bằng 0 thì chúng là hai số đối nhau

\( a + b = 0 \) thì \( a = -b, b = -a \)

Quy tắc: Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b ta cộng a với số đối của b :

\( a - b = a + (-b) \)

( a : số bị trừ, b là số trừ )

Trong tập hợp N để có hiệu a - b phải có điều kiện \( a ≥ b \) , còn trong Z thì với mọi \( a, b \in Z \) ta đều có hiệu \( (a - b) \in Z \)

Ví dụ: \( (+3) - (-1) = (+3) + (+1) = +4 \)

\( (+5) - (+9) = (+5) + (-9) = - (| - 9| -| +5| ) = -(9 - 5) = -4 \)

- Quy tắc: Khi bỏ dấu ngoặc mà trước ngoặc có dấu trừ ta phải đổi dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc đó.

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "+” đằng trước ta giữ nguyên dấu của các số hạng trong dấu ngoặc.

- Ví dụ: \( 35 - (15 - 25) = 35 - 15 + 25 = 35 + (-15) + 25\)

\( = (35 + 25) + (-15) = 60 + (-15) = 45\)

- Tổng đại số: là một dãy các phép toán cộng, trừ các số nguyên.

Vi dụ: \( 7 - (-3) + (-8) - (+9) \)

- Trong một tổng đại số ta có thể đổi chỗ một cách tùy ý các số hạng kèm theo dấu của chúng.

Ví dụ: \( 7 - (-3) + (-8) - (+9) = 7 - (+9) + (-8) - (-3) \)

- Trong một tổng đại số ta có thể đặt thêm dấu ngoặc để nhóm một cách tùy ý các sô' hạng với điều kiện nếu trước ngoặc là dấu thì phải đổi dấu các số hạng trong dấu ngoặc.

Ví dụ: \( 7 - (-3) + (-8) - (+9) \)

\( = 7 - [(-3) - (-8)] - (+9) = [7 - (-3)] + [(-8) - (+9)] \)

Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng đó. Với mọi \( a, b, c, d \in Z \) thì :

\( a + b-c = d => a - c = d - b \)

- Số nguyên a nhân với số nguyên b được số nguyên c được kí hiệu: \( a x b = c \) hoặc \( a.b = c\)

- Trong đó a, b : các thừa số ; c : tích.

- Nếu a, b là hai số nguyên cùng dấu thì : \( a .b =|a|.|b| \)

- Nếu a, b là hai số nguyên khác dấu thì : \( a.b = - |a|.|b| \)

Ví dụ: \( (-3). (-5) = | -3| . | -5| = 3.5 = 15 \)

\( (-6). (+4) = -(| -6| .| +4| ) = -(6.4) = -24 \)

Từ quy tắc nhân suy ra :

- Nếu \( a.b = 0 \) thì \( a = 0 \) hoặc \( b = 0\)

- Khi đổi dấu một thừa số thì tích đổi dấu. Khi đổi dấu hai thừa số thì tích không thay đổi.

+ Tính chất giao hoán:

\( a . b = b . a \)

+ Tính chất kết hợp:

\( (a . b). c = a .(b c) \)

+ Nhân với 1:

\( a . 1 = 1 . a = a \)

+ Phân phối giữa phép nhân đối với phép cộng:

\( a .(b + c)= a.b + a.c \)

- Cho \( a, b \in Z \) trong đó \( b ≠ 0 \). Nếu có số nguyên q sao cho \( a = b.q \) thì ta nói a chia hết cho b. Khi đó, ta gọi a là bội của b, và b là ước của a.

- Ví dụ: -12 là bội của 6 vì 12 = 6.(-2).

Các số 6 và -2 đều là ước của 12.

Với \( a, b, c \in Z \)

+ Tính chất bắc cầu: nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c

\(a \: \vdots \: b ; \: b \: \vdots \: c \Rightarrow a \: \vdots \: c \)

+ Tính chất chia hết của bội : nếu a chia hết cho b thì mọi bội của a chia hết cho b

\( a \: \vdots \: b => ( m.a) \: \vdots \: b \) với mọi \( m \in Z \)

+ Tính chất chia hết của tổng, hiệu: nếu a chia hết cho c và b chia hết cho c thì tổng a + b và hiệu a - b đều chia hết cho c

\( a \: \vdots \: c \) và \( b \: \vdots \: c => \left\{\begin{matrix} (a + b) \: \vdots \: c \\ (a - b) \: \vdots \: c \end{matrix} \right. \)