Chương 3

- Người ta gọi \( \cfrac{a}{b} \) với \( a, b \in Z , b ≠ 0 \) là môt phân số ; a là tử, b là mẫu của phân số và đọc là : a phần b.

- Chú ý: Mọi số nguyên đều có thể viết được dưới dạng phân số có tử là số ấy và mẫu là 1.

- Ví dụ: \( 3 = \cfrac{3}{1} ; -5 = \cfrac{-5}{1} ; a = \cfrac{a}{1} \)

Hai phân số \( \cfrac{a}{b} \) và \( \cfrac{c}{d} \) gọi là bằng nhau nếu \( a.d = b.c \)

Ví dụ : \( \cfrac{-5}{7} = \cfrac{15}{-21} \) vì \( -5.(-21)= 7.15= 105 \)

+ Tính chất 1

Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số bằng phân số đã cho :

Ví dụ: \( \cfrac{3}{5} = \cfrac{3.2}{5.2} =\cfrac{6}{10} \)

+ Tính chất 2

Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì ta được một phân số bằng phân số đã cho:

Ví dụ: \( \cfrac{8}{12} = \cfrac{8:2}{12:2} =\cfrac{4}{6} \)

Từ các tính chất trên, ta thấy mỗi phân số có vô số phân số bằng nó. Các phân số bằng nhau là các cách viết khác nhau của cùng một số hữu tỉ.

Từ các tính chất trên, ta có thể viết một phân số bất kỳ có mẫu âm thành phân số bằng nó và có mẫu dương bằng cách nhân cả tử và mẫu của phân số đó với -1.

- Quy tắc: Muốn rút gọn một phân số ta chia cả tử và mẫu của phân số đó cho một ước chung của chúng ( ước chung này phải khác 1 hoặc -1 )

- Ví dụ : Rút gọn phân số: \( \cfrac{6}{18} \)

\( \cfrac{6}{18} = \cfrac{6:6}{18:6}= \cfrac{1}{3} \)

- Phân số tối giản hay phân số không rút gọn được nữa là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 và -1 ( tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau)

- Muốn đưa một phân số chưa tối giản về dạng tối giản, ta chia tử và mẫu của phân số ấy với ước chung lớn nhất của chúng.

Muốn quy đồng mẫu của nhiều phân số với mẫu dương ta thực hiện các bước :

Bước 1 : Tìm một Bội chung của các mẫu để làm mẫu chung của các phân số. Thông thường người ta thường tìm BCNN của các mẫu.

Bước 2 : Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu.

Bước 3 : Nhân tử và mẫu của mỗi phân sô' với thừa số phụ tương ứng.

Chú ý: Trước khi quy đồng mẫu các phân số ta cần phải :

+ Đưa các phân số có mẫu âm về dạng có mẫu dương ;

+ Rút gọn các phân số chưa tối giản.

+ Khi trong các mẫu có một mẫu chia hết cho các mẫu còn lại thì ta chọn mẫu này làm mẫu chung.

+ Khi các mẫu là các sô nguyên tố cùng nhau thì mẫu chung bằng tích của các mẫu.

Quy tắc: Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.

Nếu \( a>c \) thì \( \cfrac{a}{b} > \cfrac{c}{b} \) ( b > 0 )

Quy tắc: Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu để viết chúng dưới dạng các phân số có cùng mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau : Phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.

Chú ý : Trước khi thực hiện việc so sánh các phân số cần chú ý:

+ Viết các phân số có mẫu âm về dạng có mẫu dương.

+ Rút gọn các phân số chưa tối giản.

Quy tắc : Muôn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu

\( \cfrac{a}{m} + \cfrac{b}{m} = \cfrac{a+b}{m} \) ( m ≠ 0 )

+ Quy tắc : Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu để đưa chúng về dạng các phân số có cùng mẫu rồi cộng các tử số lại và giữ nguyên mẫu.

+ Chú ý: Các quy tắc trên đây cũng được ứng dụng trong việc cộng nhiều phân số.

Trước khi cộng các phân số, ta cần viết các phân sô có mẫu âm thành phân số có mẫu dương, rút gọn các phân số chưa tối giản và sau khi cộng cần rút gọn các kết quả, nếu có thể.

+ Phân số Ai Cập là các phân số có dạng \( \cfrac{1}{n} \) ( n ≠ 0 )

+ Mọi phân số có tử lớn hơn 1 đều viết được dưới dạng tổng phân số Ai Cập với các mẫu khác nhau.

+ Ví dụ: \( \cfrac{7}{12}= \cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{12} \)

Phép cộng các phân số có các tính chất:

+ Tính chất giao hoán: \( \cfrac{a}{b}+\cfrac{c}{d} = \cfrac{c}{d}+ \cfrac{a}{b}\)

+ Tính chất kết hơp: \( \left ( \cfrac{a}{b} + \cfrac{c}{d} \right ) +\cfrac{p}{q} = \cfrac{a}{b} + \left ( \cfrac{c}{d} + \cfrac{p}{q} \right ) \)

+ Cộng với số 0: \( \cfrac{a}{b} + 0 = 0 + \cfrac{a}{b} = \cfrac{a}{b} \)

Người ta áp dụng các tính chất này của phép cộng để đổi chỗ và ghép các phân số một cách thích hợp giúp cho việc tính toán được đơn giản.

+ Số đối: hai số gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

+ Số đối của \( \cfrac{a}{b} \) là \( \cfrac{-a}{b} \)

\( \cfrac{a}{b} + \cfrac{-a}{b} = 0 \)

\( - \cfrac{a}{b}=\cfrac{-a}{b} = \cfrac{a}{-b} \)

+ Quy tắc: Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ.

\( \cfrac{a}{b} -\cfrac{c}{d} = \cfrac{a}{b} + \cfrac{-a}{b} \)

+ Phép trừ phân số là phép toán ngược của phép cộng phân số.

+ Quy tắc: Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau.

\( \cfrac{a}{b} . \cfrac{c}{d} = \cfrac{a.c}{b.d} \)

+ Muốn nhân một số nguyên với một phân số (hoặc một phân số với một số nguyên): ta nhân số nguyên với tử và giữ nguyên mẫu.

\( a.\cfrac{b}{c} = \cfrac{a.b}{c} \)

+ Chú ý : Trước khi thực hiện phép nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau, ta cần rút gọn các phân số để phép tính được đơn giản hơn.

Phép nhân phân số có các tính chất :

+ Tính chất giao hoán: \( \cfrac{a}{b}.\cfrac{c}{d} = \cfrac{c}{d}.\cfrac{a}{b} \)

+ Tính chất kết hợp: \( \left ( \cfrac{a}{b} . \cfrac{c}{d} \right ) . \cfrac{p}{q} = \cfrac{a}{b} . \left ( \cfrac{c}{d} . \cfrac{p}{q} \right ) \)

+ Nhân với 1: \( \cfrac{a}{b} .1 = 1 . \cfrac{a}{b} \)

+ Phân phối giữa phép nhân với phép cộng:

\( \cfrac{a}{b}.\left ( \cfrac{c}{d} + \cfrac{p}{q} \right ) = \cfrac{a}{b}.\cfrac{c}{d} + \cfrac{a}{b}. \cfrac{p}{q} \)

Áp dụng : ta vận dụng các tính chất trên vào các bài toán giúp ta tính nhanh hơn, tính hợp lí hơn.

Hai số gọi là nghịch đảo của nhau khi tích của chúng bằng 1.

Ví dụ: \( \cfrac{3}{5}; \: \cfrac{5}{3} \) là hai số nghịch đảo, vì \( \cfrac{3}{5} . \cfrac{5}{3} =1 \)

+ Muốn chia một phân số cho một phân số, ta nhân phân số bị chia với số nghịch đảo của số chia

\( \cfrac{a}{b}: \cfrac{c}{d} = \cfrac{a}{b}. \cfrac{d}{c} \)

+ Muốn chia một số nguyên cho một phân số ta nhân số nguyên với số nghịch đảo của phân số

\( a: \cfrac{b}{c} = a. \cfrac{c}{b} \)

+ Muốn chia một phân số cho một số nguyên khác 0 ta giữ nguyên tử và nhân số nguyên với mẫu của phân số

\( \cfrac{a}{b} : c = \cfrac{a}{b.c} \)

Hỗn số : là số gồm phần nguyên kèm theo một phân số ( thường là nhỏ hơn 1).

Ví dụ: hỗn số \( 3\cfrac{1}{2} \) , phần nguyên: 3 , phần phân số: \( \cfrac{1}{2} \)

1) Phân số thập phân: là các phân số mà có mẩu là luỹ thừa của 10.

Ví dụ: \( \cfrac{3}{10} ; \cfrac{-7}{100}; \cfrac{45}{1000};.... \)

2) Số thâp phân: là số gồm 2 phần:

- Phần số nguyên: viết bên trái dấy phảy.

- Phần thập phân: viết bên phải dấu phảy.

Ví dụ: \( 0,4 ; 4,8 ; -12,147; .... \)

Những phân số có mẫu là 100 còn được viết dưới dạng phần trăm với kí hiệu %.

Ví dụ: \( \cfrac{12}{100} = 12\% \)

Quy tắc: muốn tìm \( \cfrac{m}{n} \) của số b cho trước, ta tính \( b .\cfrac{m}{n} \) ,

( \( m,n \in N, n≠ 0 \) )

Ví dụ: Tìm \( \cfrac{2}{3} \) của 36.

Ta tính: \( 36. \cfrac{2}{3} = 24 \)

Quy tắc: Muốn tìm một số biết \( \cfrac{m}{n} \) của nó bằng a, ta tính: \( a: \cfrac{m}{n} \) ( \( m ,n \in N^* \) )

Ví dụ: Tìm số x biết \( \cfrac{ 3}{5} \) của nó bằng 12.

Tính: \(x = 12: \cfrac{ 3}{5} = 12. \cfrac{ 5}{3}= 20 \)

Tỉ số của hai số a và b : là thương trong phép chia số a cho số b, ( b≠ 0 )

Kí kiệu: \( a:b \) hoặc \( \cfrac{a}{b}

Quy tắc: muốn tìm tỉ số phần trăm của hai số a và b, ta nhân a với 100 rồi chia cho b và viết kí hiệu % vào kết quả: \( \cfrac{a.100}{b} \% \)

Ví dụ: Tính tỉ số phần trăm của 3,4 và 16,7

\( \cfrac{3,4}{16,7}= \cfrac{3,4.100}{16,7}\% ≈ 20,36 \% \)

Tỉ lệ xích T của một bản vẽ ( hoặc bản đồ ) là tỉ số khoảng cách giữa hai điểm trên bản vẽ và khoảng cách giữa hai điểm tương ứng trên thực tế.

\( T = \cfrac{a}{b} \) ( a ,b : có cùng đơn vị đo )