PHẦN ĐẠI SỐ
( TOÁN THCS - toanthcs.com - 0944734007 )

CHƯƠNG I. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA.

I. CĂN BẬC HAI

1) Định nghĩa:

Căn bậc hai của số thực a ( a ≥ 0 )  là số  x sao cho \( x^2 = a \)

+ Mỗi số a > 0 có đúng 2 căn bậc hai: \( \sqrt{a} \) và \( - \sqrt{a} \).

+ Số 0 có căn bậc hai bằng 0. 

2) Căn bậc hai số học

- Với số thực \( a ≥ 0 \) thì \( \sqrt{a} \) được gọi là căn bậc hai số học của a.

- Dấu căn bậc hai là dấu phép toán khai phương.

3) Liên hệ giữa phép khai phương và thứ tự.

Định lí: Với a, b là các số dương, ta có:

a) Nếu \( a <b  \) thì \( \sqrt{a} < \sqrt{b} \).

b) Nếu \( \sqrt{a} < \sqrt{b} \) thì \( a < b \).

4) Số chính phương

Số a nguyên dương có \( \sqrt{a} \) là số nguyên dương thì a được gọi là số chính phương.

II. CĂN BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC \( \sqrt{A^2}= \left |  A\right | \)

1) Căn thức bậc hai

- Cho A là một biểu thức thì \( \sqrt{A} \) là căn thức bậc hai.

- Biểu thức A được gọi là biểu thức dưới dấu căn.

- \( \sqrt{ A} \) có nghĩa khi \( A ≥ 0 \).

2) Hằng đẳng thức \( \sqrt{A^2} = \left |  A\right | \)

\( \sqrt{A^2} = \left | A \right | = \left\{\begin{matrix}  A, \: với \:  A ≥ 0 \\   - A, \: với \: A <0 \end{matrix}\right. \)

III. KHAI PHƯƠNG MỘT TÍCH, MỘT THƯƠNG. NHÂN, CHIA CÁC CĂN THỨC BẬC HAI.

1) Khai phương một tích. Nhân các căn thức bậc hai.

Định lí: Với các biểu thức \( A, B \) mà \( A ≥ 0 ; B ≥ 0 \) ta có:

\( \sqrt{A.B} = \sqrt{A}. \sqrt{B} \)

Quy tắc:

a) Muốn khai phương một tích các biểu thức không âm ta có thể khai phương từng biểu thức rồi nhân các kết quả lại với nhau.

b) Muốn nhân các căn thức bậc hai của các biểu thức không âm ta có thể nhân các biểu thức dưới dấu căn rồi khai phương tich đó.

2) Khai phương một thương. Chia hai căn thức bậc hai.

Định lí: Với các biểu thức \( A, B \) mà \( A ≥ 0 ; B > 0 \) ta có:

\( \sqrt{\cfrac{A }{B } } = \cfrac{ \sqrt{A} }{ \sqrt{B}  }  \)

Quy tắc:

a) Muốn khai phương một thương \( \cfrac{A }{B} \) trong đó \( A ≥ 0 ; B >0 \) ta có thể khai phương từng biểu thức rồi chia các kết quả lại với nhau.

b) Muốn chia các căn thức bậc hai của biểu thức \( A ≥ 0 \) cho căn bậc hai của biểu thức \( B < 0 \) ta có thể chia A cho B rồi khai phương thương đó.

VI. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN CÁC CĂN THỨC BẬC HAI

1) Đưa nhân tử ra ngoài dấu căn

Nếu \( B ≥ 0 \) thì \( \sqrt{ A^2 B} = \left |A \right | \sqrt{B} \)

2) Đưa nhân tử vào trong dấu căn bậc hai

\( A \sqrt{B} = \left\{\begin{matrix} \sqrt{A^2.B } \: nếu \: A ≥ 0 ; B ≥ 0 \\ - \sqrt{A^2.B } \: nếu \: A < 0 ; B ≥ 0 \end{matrix}\right. \)

3) Khử mẫu trong biểu thức lấy căn

Nếu A, B là các biểu thức sao cho \( A.B ≥ 0 ; B ≠ 0 \) thì:

\( \sqrt{ \cfrac{ A}{B } } = \sqrt{ \cfrac{ A.B}{B^2 } } = \cfrac{\sqrt{AB }}{\left |B \right | } \)

4) Trục ( khử ) căn thức ở mẫu

a) Biểu thức liên hợp:

\( \left ( \sqrt{A} - \sqrt{B} \right ) \left ( \sqrt{A} + \sqrt{B} \right ) = A - B \)

\( \left ( \sqrt{A} - B \right ) \left ( \sqrt{A} + B \right ) = A - B^2 \)

\( \left ( A - \sqrt{B} \right ) \left ( A + \sqrt{B} \right ) = A^2 - B \)

b) Quy tắc trục căn thức ở mẫu

Muốn trục căn thức ở mẫu một biểu thức, ta nhân cả tử và mẫu của biểu thức đó với biểu thức liên hợp của mẫu

V. CĂN BẬC BA

1) Định nghĩa:

Căn bậc ba của một số a là số x sao cho \( x^3 = a \), kí hiệu: \( \sqrt[3]{a} = x \)

2) Tính chất

a) \( a  < b \Leftrightarrow  \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b} \)

b) \( \sqrt[3]{a} . \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a.b} \)

c) Với b ≠ 0, ta có: \( \sqrt[3]{\cfrac{a }{ b} } = \cfrac{\sqrt[3]{a}  }{ \sqrt[3]{b} } \)

CHƯƠNG II. HÀM SỐ BẬC NHẤT

I. KHÁI NIỆM HÀM  SỐ

1) Khái niệm hàm số

- Đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng biến đổi x sao cho mỗi giá trị của x ta luôn xác định được một giá trị tương ứng của y, ta gọi y là hàm số của x, x gọi là biến số.

- Để chỉ rõ y là hàm số của biến x, ta thường viết: \( y = f(x), y = g(x), .... \).

- Một hàm số có thể cho bằng bảng, bằng công thức hay bằng đồ thị.

2) Đồ thị của hàm số

- Đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng biến đổi x sao cho mỗi giá trị của x ta luôn xác định được một giá trị tương ứng của y, ta gọi y là hàm số của x, x gọi là biến số.

- Để chỉ rõ y là hàm số của biến x, ta thường viết: \( y = f(x), y = g(x), .... \).

- Một hàm số có thể cho bằng bảng, bằng công thức hay bằng đồ thị.

- Hình gồm tất cả các điểm (x, y) của hàm số \( y = f(x) \) được biểu diễn trên hệ trục toạ độ được gọi là đồ thị hàm số.

3) Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến.

Cho hàm số \( y = f(x) \) xác định trên tập hợp X, với \( x_1; x_2 \in X \)

+ Hàm số đồng biến nếu: \( x_1 < x_2 ⇒ f(x_1) < f(x_2) \)

+ Hàm số nghịch biến nếu: \( x_1 < x_2 ⇒ f(x_1) > f(x_2) \)

II. HÀM SỐ BẬC NHẤT

1) Định nghĩa

Hàm số \( y = f(x) \) được cho bởi công thức \( y = ax + b \), ( a≠ 0 ) thì ta gọi y là hàm số bậc nhất với biến số x.

2) Tính chất

Hàm số bậc nhất \( y = ax + b \) xác định với mọi giá trị \( x \in R \).

Trên tập hợp R, hàm số bậc nhất \( y = ax+b \) đồng biến nếu a > 0, và nghịch biến nếu a < 0.

III. ĐỒ THỊ HÀM SỐ \( y = ax \) VÀ HỆ SỐ GÓC.

CHƯƠNG III. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

CHƯƠNG IV. HÀM SỐ \( y = ax^2 \) ( a ≠ 0 )

PHẦN HÌNH HỌC
( TOÁN THCS - toanthcs.com - 0944734007 )

CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

I. CÁC HỆ THỨC

Cho tam giác ABC vuông tại A; AB = c , AC = b , BC = a, AH = h.

CÔNG THỨC

1  \( \widehat{ A} = 90^0 \Leftrightarrow  a^2 = b^2 + c^2 \)
2

\( b^2 = a.b' \)

\( c^2 = a.c' \)

3 \( h^2 = b'. c' \)
4 \( a.h = b.c \)
5 \( \cfrac{ 1}{h^2 } = \cfrac{1 }{b^2 } + \cfrac{ 1}{ c^2} \)

Chú ý:

1) Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh huyền.

2) Trong một tam giác, đường trung tuyến bằng một nửa cạnh tương ứng thì tam giác đó là tam giác vuông.

3) Trong một tam giác đều có cạnh a, đường cao \( h = \cfrac{ a \sqrt{3} }{ 2} \).

II. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN.

1) Các định nghĩa:

\( 0 < α < 90^0 \)

\( \sin α = \cfrac{Đối }{ huyền} \)

\( \cos α = \cfrac{kề }{huyền } \)

\( \tan α = \cfrac{ đối }{kề } \)

\( \cot α = \cfrac{ kề}{đối } \)

2) Một vài liên hệ cơ bản

\( \sin^2 α + \cos^2 α = 1 \)

\( \tan α . \cot α = 1 \)

\( \tan α = \cfrac{\sin α }{ \cos α } \)

\( \cot α = \cfrac{ \cos α }{ \sin α } \)

3) Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Định lí:

Hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia.

\( \sin α  = \cos (90^0 - α  ) \)

\( \cos α  = \sin ( 90^0 - α  ) \)

\( \tan α = \cot ( 90^0 - α  ) \)

III. HỆ THỨC LƯỢNG GIỮA CÁC CẠNH VÀ CÁC GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Định lí: Trong một tam gác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

+ Cạnh huyền nhân với Sin góc đối hoặc Cosin góc kề.

+ Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc cotang góc kề.

\( AC = b = a . \sin B = a . \cos C \)

\( AB = c = a. \sin C = a. \cos B \)

\( AC = b = c.\tan B = c . \cot C \)

\( AB = c = b. \tan C = b. \cot B \)

CHƯƠNG II. ĐƯỜNG TRÒN

I. ĐỊNH NGHĨA VÀ SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN

1) Định nghĩa:

Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng bằng R ( R > 0 ) là đường tròn tâm O, bán kính R.

Kí hiệu: \( ( O; R ) \)

2) Vị trí tương đối của một điểm đối với đường tròn ( O; R )

HỆ THỨC VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
OM < R  M nằm trong đường tròn (O; R )
OM = R  M nằm trên đường tròn (O; R )
OM > R  M nằm ngoài đường tròn (O; R )

3) Liên hệ giữa độ dài dây cung và đường kính

Định lí:

Trong một đường tròn, đường kính là dây cungn lớn nhất.

4) Sự xác định đường tròn

Định lí:

Qua ba điểm không thẳng hàng, bao giờ cũng xác định được một và chỉ một đường tròn.

II. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

1) Tính chất đối xứng

- Đường tròn có một tâm đối xứng là tâm của nó.

- Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.

2) Liên hệ giữa đường kính và dây cung

Định lí:

- Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của một dây.

- Đường kính đi qua trung điểm của một dây ( không phải là đường kính ) thì vuông góc với dây ấy.

3) Liên hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm

Định lí:

Trong một đường tròn:

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

+ Trong hai dây không bằng nhau thì dây lớn hơn thì gần tâm hơn và ngược lại dây gần tâm hơn thì lớn hơn.

III.  VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.

Gọi d là khoảng cách từ tâm O của đường tròn (O; R ) đến đường thẳng:

LIÊN HỆ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
\( d < R \) Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm.
\( d = R \) Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.
\( d > R \) Đường thẳng không cắt đường tròn.

IV. TIẾP TUYẾN CỦA MỘT ĐƯỜNG TRÒN

Định lí:

- Tiếp tuyến với đường tròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

- Một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm ấy thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

V. TIẾP TUYẾN KẼ TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG TRÒN

1) Từ một điểm nằm ngoài đường tròn, ta có thể vẽ hai tiếp tuyến của đường tròn và có tính chất:

+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+ Tia đi qua điểm ấy và tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

+ Tia đi qua tâm và điểm ấy là tia phân giác tạo góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp điểm.

2) Tam giác và đường tròn:

+ Mỗi tam giác có một đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm các đường trung trực của các cạnh.

+ Mỗi tam giác có một đường tròn nội tiếp, tâm của đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác trong của các góc.

+ Mỗi tam giác có 3 đường tròn bàng tiếp, tâm của đường tròn bàng tiếp là giao điểm của hai phân giác của góc ngoài tam giác.

VI. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN.

1) Vị trí tương đối

Với hai đường tròn ( O; R ) , ( O' ; r ), ta kí hiệu d là khoảng cách giữa 2 tâm: \( d = OO'  \)

HỆ THỨC VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI SỐ GIAO ĐIỂM
\( d > R+ r \) Hai đường tròn ngoài nhau. 0
\( d < \left |  R - r \right | \) Hai đường tròn đựng nhau. 0
\( \left | R - r   \right | < d < R + r \) Hai đường tròn cắt nhau. 2
\( d = R + r \) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài. 1
\( d = \left |  R - r \right | \) Hai đường tròn tiếp xúc trong. 1

2) Tính chất của đường nối tâm

Định lí:

Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm vuông góc với dây chung và đi qua trung điểm của dây chung.

VII. TIẾP TUYẾN CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN.

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI SỐ TIẾP TUYẾN CHUNG
Ngoài nhau 4
Tiếp xúc nhau 3
Cắt nhau 2
Tiếp xúc trong 1
Đựng nhau 0

CHƯƠNG III. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN

I. GÓC Ở TÂM - SỐ ĐO CUNG

1) Định nghĩa: góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

2) Số đo cung

- Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.

\( sđ \overset{\frown }{AmB} = sđ \widehat{ AOB} \)

- Số đo cung lớn bằng \( 360^0 \) trừ đi số đo cung nhỏ.

\( sđ \overset{\frown }{AnB} = 360^0 - sđ \overset{\frown }{AmB} \)

- Số đo nửa đường tròn bằng \( 180^0 \)

- Cung có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau thì có số đo là \( 0^0 \).

- Cung cả đường tròn có số đo bằng \( 360^0 \)

3) So sánh hai cung

Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

- Hai cung có số đo bằng nhau được gọi là hai cung bằng nhau và ngược lại.

- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn thì cung đó lớn hơn và ngược lại.

- Nếu C là điểm nằm trên cung AB thì \( sđ \overset{\frown }{AB} = sđ \overset{\frown }{AC} + sđ \overset{\frown }{CB} \)

II. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY

Định lí 1:

Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

+ Hai cung bằng nhau thì căng hai dây bằng nhau.

\( \overset{\frown }{AB} = \overset{\frown }{CD} ⇒ AB = CD \)

+ Hai dây bằng nhau thì căng hai cung bằng nhau.

\( AB = CD ⇒ \overset{\frown }{AB} = \overset{\frown }{CD} \)

Định lí 2:

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

+ Cung lớn thì căng dây lớn hơn.

+ Dây lớn hơn thì căng cung lớn hơn.

\( \overset{\frown }{AB} > \overset{\frown }{CD} \Leftrightarrow AB > CD \)

III. GÓC NỘI TIẾP

1) Định nghĩa:

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh cắt đường tròn.

2) Định lí:

Số đo của góc nội tiếp bằng một nửa số đo cung bị chắn:

\( sđ \widehat{ BAC } = \cfrac{ 1}{2 } sđ \overset{\frown }{BC} \)

3) Hệ quả:

Trong một đường tròn:

+ Các góc nội tiếp chắn cùng một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau.

+ Góc nội tiếp có số đo bằng một nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung.

+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

IV. GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG.

Định lí:

Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn.

\( sđ \widehat{ BAx} = \cfrac{ 1}{2 } sđ \overset{\frown }{AB} \)

V.  GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG HAY BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN.

Định lí:

+ Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng một nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

\( sđ \widehat{ BPC} = \cfrac{1 }{2 } \left ( sđ \overset{\frown }{BC} + sđ \overset{\frown }{AD} \right ) \)

+ Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn.

\( sđ \widehat{ BPC} = \cfrac{ 1}{2 } \left ( sđ \overset{\frown }{BC} - sđ \overset{\frown }{AD} \right ) \)

VI. CUNG CHỨA GÓC

1) Cung chứa góc α

Cho một đoạn thẳng AB và một góc \( α^0 \). Quỹ tích những điểm M trong mặt phẳng sao cho \( \widehat{ AMB} = α^0 \) là hai cung tròn chứa góc α, dựng trên đoạn thẳng AB.

2) Cách dựng cung chứa góc

Để dựng cung chứa góc α trên đoạn thẳng AB ta làm như sau:

+ Vẽ tia Ax tạo với AB một góc bằng \( α^0 \).

+ Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax tại A.

+ Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

+ Lấy giao điểm O của d và Ay làm tâm, vẽ cung tròn bán kính OA. ( Cung này nằm trong nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB và không chứa Ax ).

CHƯƠNG IV. CÁC KHỐI TRÒN XOAY

CÔNG THỨC

Hình trụ Hình nón Hình cầu
Hình vẽ
\( S_{xq} \) \( 2\pi R h \) \( \pi R l \) \( 4 \pi R^2 \)
\( S_{TP} \) \( 2 \pi R ( h+ r ) \) \( \pi R ( l + R) \)
V \( \pi R^2 h\) \( \cfrac{1 }{3 } \pi R^2 h \) \( \cfrac{ 4}{ 3} \pi R^3 \)

\( S_{xq} \) : Diện tích xung quanh.

\( S_{tp} \): Diện tích toàn phần.

\( V \): Thể tích.

\( R \): Bán kính

\( h \): chiều cao.

\( l \): đường sinh của hình nón.