Bài 1:
1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì \( n^4 + 2015n^2 \) chia hết cho 12.
2) Giải hệ phương trình sau: \( \left\{\begin{matrix} 2x^2 + 3xy+y^2 = 12 \\ x^2 - xy + 3y^2 = 11 \end{matrix}\right. \)
Bài 2:
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: \( 2y^2 + 2xy + x + 3y – 13 = 0 \).
2) Giải phương trình: \( 2 \sqrt[4]{\cfrac{x^2 }{3 } + 4} = 1 + \sqrt{\cfrac{3x }{ 2} } \)
Bài 3: Cho x,y là các số thực không âm. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
\( P =\cfrac{ (x^2 - y^2 )(1 - x^2y^2) }{ ( 1 + x^2)^2 (1 + y)^2 } \)
Bài 4: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Kẻ tiếp tuyến chung CD (C, D là tiếp điểm, \( C\in (O), D \in (O’) \). Đường thẳng qua A song song với CD cắt (O) tại E, (O’) tại F. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của BD và BC với EF. Gọi I là giao điểm của EC với FD. Chứng minh rằng:
a) Chứng minh rằng tứ giác BCID nội tiếp.
b) CD là trung trực của đoạn thẳng AI.
c) IA là phân giác góc MIN.
Bài 5: Cho 1010 số tự nhiên phân biệt không vượt qu{ 2015 trong đó không có số nào gấp 2 lần số khác. Chứng minh rằng trong các số được chọn luôn tìm được 3 số sao cho tổng của 2 số bằng số còn lại.