Bài 1 ( 2 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A= \cfrac{\sqrt{x+6 \sqrt{x-9} } + \sqrt{x-6 \sqrt{x-9}} }{ \sqrt{\cfrac{ 81}{x^2 }-\cfrac{ 18}{x } +1}} \) , với x >9.
b) Tìm x thoả \( \left | 9x -8 \right | + \left | 7x -6 \right | + \left | 5x -4 \right |+ \left | 3x -2 \right |+x = 0 \)
Bài 2 ( 2 điểm)
a) Cho ba số thực dương phân biệt a, b, c thoả \( a+b+c = 3 \). Xét ba phương trình bậc hai \( 4x^2 + 4ax + b = 0\) , \( 4x^2 +4bx + c = 0 \), \( 4x^2 + 4cx + a = 0 \). Chứng minh rằng trong ba phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm và có ít nhất một phương trình vô nghiệm.
b) Cho hàm số \( y = \cfrac{ }{ } x^2 \) có đồ thị (P) và điểm \( A(2;2)\). Gọi \( d_m \) là đường thẳng qua A có hệ số góc là m. Tìm tất cả các giá trị của m để \( d_m \) cắt đồ thị (P) tại hai điểm A và B, đồng thời cắt trục Ox tại điểm C sao cho \( AB = 3 AC \).
Bài 3 ( 2 điểm )
a) Giải phương trình \( x^2 - 6(x+ 3 ) \sqrt{x+1}+14x + 3 \sqrt{x+1} + 13 = 0 \)
b) Giải hệ phương trình \( \left\{\begin{matrix} 8xy + 22y +12x +25 = \cfrac{1 }{x^3 } \\ y^3 +3y = (x+5)\sqrt{x+2 } \end{matrix}\right. \)
Bài 4 ( 1,5 điểm) Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2r lấy điểm C khác A sao cho CA < CB. Hai tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại B, C cắt nhau ở M. Tia AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác MCB tại điểm thứ hai là D. Gọi K là giao điểm thứ hai của BD và nửa đường tròn (O), P là giao điểm của AK và BC. Biết rằng diện tích hai tam giác CPK và APK lần lượt là \( \cfrac{ r^2 \sqrt{3}}{12 } \) và \( \cfrac{r^2 \sqrt{3} }{ 3} \), tính diện tích tứ giác ABKC.
Bài 5 ( 1,5 điểm ) Cho tam giác ABC nhọn ( BA < BC ) nội tiếp trong đường tròn (O). Vẽ đường tròn (Q) đi qua A và C sao cho (Q) cắt các tia đối của tia AB và CB lần lượt tại các điểm thứ hai là D và E. Gọi M là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE. Chứng minh QM vuông góc với BM.
Bài 6 ( 1 điểm) Ba bạn A, B, C cùng chơi một trò chơi: sau khi bạn A chọn 2 số tự nhiên từ 1 đến 9 ( có thể giống nhau), A nói cho B chỉ mổi tổng và nói cho C chỉ mổi tích của hai số đó. Sau đây là các câu đối thoại giữa B và C:
B nói: Tôi không biết hai số A chọn nhưng chắc chắn C cũng không biết.
C nói: mới đầu thì tôi không biết nhưng giờ thì biết hai số A chọn rồi. Hơn nữa, số mà A đọc cho tôi lớn hơn số của bạn.
B nói: À vậy tôi cũng biết hai số A chọn rồi.
Xem B và C là các nhà suy luận logic hoàn hảo, hãy cho biết hai số A chọn là hai số nào?
----------------- HẾT ---------------
( tuyển sinh lớp 10 chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng 2019-2020 )