Bài 1: Nhân các đơn thức sau:

a) \( \cfrac{ 1}{ 2} x^2 y. \left (  \cfrac{-2 }{ 3} xy^2 \right ) \)

b) \( \left ( 2xy^2  \right ) .\left (  \cfrac{ 1}{3 } x^3 y^2 \right )^2  \)

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức A tại \( x = 2 ; y = 3 \)

\( A = 4x^2 y^3 + 2xy -5x^2 +5x^2y^2 \)

Bài 3: Cho hai đa thức:

\( A(x) = 3x^4 -4x^3 +2x -5 \)

\( B(x) = x^6 - (- 3x^4+2x -1 +x^6 ) +x^2 \)

a) Kiểm tra \( x= -1 \) có phải là nghiệm của đa thức \( A(x) \) không?

b) Thu gọn và sắp xếp đa thức \( B(x) \) theo luỹ thừa giảm dần của x.

c) Tính \( f(x) = A(x) + B (x) ; g(x) = B(x) - A(x) \)

Bài 4: Tính nghiệm của đa thức sau:

a) \( A(x) = 2x+10 \)

b) \( B(x) = 4(x-1) + 3x -5 \)

c) \( C( x) = -7x^2 +2x \)

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có \( AB < AC \), kẻ đường phân giác BD của \( \widehat{ ABC} ( D \in AC ) \). Kẻ DM vuông góc với BC tại M.

a) Chứng minh: \( ΔDAB = ΔDMB \).

b) Chứng minh BD là đường trung trực của AM.

c) Gọi K là giao điểm của đường thẳng DM và đường thẳng AB, đường thẳng BD cắt KC tại N. Chứng minh \( BN \perp KC \) và ΔKBC cân tại B.

d) Gọi E là trung điểm của BC. Qua N kẻ đường thẳng song song với BC, đường thẳng này cắt AB tại P. Chứng minh ba đường thẳng CP, KE, BN đồng quy.

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = \cfrac{ 1}{ |x + 2017| + |x -2| } \)

--------------------  Hết  ----------------------

★ HƯỚNG DẪN ★

Bài 1: Số cân nặng của học sinh ( kg ) trong một lớp được ghi lại như sau:

a) Dấu hiệu ở đây là gì? Số các giá trị dấu hiệu?

b) Lập bảng tần số.

c) Tính số trung bình cộng và tìm mốt của dấu hiệu. ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất ).

Bài 2: Cho đơn thức: \( A = \left (\cfrac{ 1}{3 } x^3 y^6  \right ) . \cfrac{ 1}{ 2} x^2 y \)

a) Thu gọn A, tìm bậc của đơn thức A thu được.

b) Tính giá trị của đơn thức thu được tại \( x = - 1; y = -1 \).

Bài 3: Cho hai đa thức

\( P(x) = x^5 2x^2 +7x^4 - 9 x^3 - \cfrac{ 1}{4 } x \)

\( Q(x) = 5x^4 - x^5 +4x^2 - 2x^3 - \cfrac{1 }{ 4} \)

a) Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức trên theo luỹ thừa giảm của biến.

b) Tính \( P(x) + Q(x) \) và \( P(x) - Q(x) \).

Bài 4: Tìm nghiệm của đa thức:

a) \( x^2 -4 \)

b) \( x - \cfrac{ 2}{3 } x^2 \)

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông ở A, có \( \widehat{ C} = 30^0, AH \perp BC ( H \in BC )  \). Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho \( HD = HB \). Từ C kẻ \( CE \perp AD \). Chứng minh:

a) ΔABD là tam giác đều.

b) \( AH = CE \).

c) \( EH // AC \)

Bài 6: Cho đa thức \( P(x) = ax^2 +bx + c \).

Chứng tỏ rằng \( P(-1). P(-2) ≤ 0 \) biết rằng \( 5a -3b +2c = 0 \).

--------------------  Hết  --------------------

★ HƯỚNG DẪN ★

Bài 1:  Thu gọn các đơn thức sau rồi tìm hệ số và bậc của chúng.

a) \( -6a^2b. \cfrac{1 }{ 2} bc^2 \)

b) \( \left (  -2xy^3 \right )^2 . \cfrac{ 2}{ 3} xz^2 \)

Bài 2: Cho các đa thức sau:

\( A(x) = 3x^2 -5x +x^3 - x^2 -7 \)

\( B (x)= -x + 11+x^3 \)

a) Thu gọn rồi sắp xếp mỗi đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến.

b) Tính \( A(2) \) và \( B(-1) \).

c) Tìm đa thức \( f(x) \) biết \( f(x) = A(x) +B(x) \).

d) Tìm đa thức g(x) biết \( g(x) = A(x) - B(x) \).

Bài 3: Cho đa thức \( P(x) = x^2 +mx -9 \) ( m: tham số )

a) Tìm giá trị của m để \( x =1 \) là một nghiệm của đa thức \( P(x)\).

b) Khi \( m = 0 \), tìm tất cả các nghiệm của đa thức \( P(x) \).

c) Khi \( m= 0 \), tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức.

Bài 4: Cho tam giác ABC cân ở A có đường cao AH ( \( H \in BC \) ).

a) Chứng minh: H là trung điểm của BC và \( \widehat{ BAH} = \widehat{ HAC} \).

b) Kẻ HM vuông góc với AB tại M, HN vuông góc với AC tại N. Chứng minh: ΔABC cân tại A.

c) Vẽ điểm P sao cho H là trung điểm của NP. Chứng minh: BC là đường trung trực của MP.

d) MP cắt BC tại điểm K. NK cắt NH tại D. Chứng minh: ba đường thẳng AH, MN, DP cùng đi qua một điểm.

Bài 5: Cho đa thức \( f(x) \) thoả mãn: \( (x-1) . f(x) = (x+2).f(x+3) \) với mọi x. Tìm 5 nghiệm của đa thức.

---------------- Hết  -----------------

★ HƯỚNG DẪN ★

Bài 1: Cho hai đơn thức: \( \cfrac{-3 }{ 4} x^2 y^2 z \) và \( -6xy^3 z^3 \). Tính tích các đơn thức trên và chỉ ra hệ số, phần biến và bậc của đơn thức tích.

Bài 2: Tìm nghiệm của các đa thức sau:

a) \(  5x - 6 - (x+2) \)

b) \( 3x - 6 x^2 \)

Bài 3: Cho hai đa thức:

\( A(x) = 5x^4 -5 +6x^3 +x^4 -5x -12 \)

\( B(x) = 8x^4 +2x^3 -2x^4 +4x^3 -5x -15 - 2x^2 \)

a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức theo luỹ thừa giảm dần của biến.

b) Tính \( H(x) = A(x)  + B(x) ; G (x) = A(x) -B(x) \).

c) Tìm nghiệm của đa thức \( G(x) \).

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có \( AB = 5cm; AC = 12cm\). Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho \( AB = AD \).

a) Chứng minh: \( ΔADC = ΔABC \).

b) Tính độ dài cạnh DC.

c) Từ A kẽ KA vuông góc với BC tại K, kẻ AH vuông góc với DC tại H. Chứng minh: \( AK = AH \).

d) Kéo dài KA cắt tia CD tại M, kéo dài HA cắt tia CB tại N. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh C, A, I thẳng hàng.

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \( A =  \cfrac{x^2 -1  }{x^2 +1 } \)

---------------  Hết  ------------------

★ HƯỚNG DẪN ★

Bài 1: Điểm kiểm tra học kỳ 1 môn Toán của tất cả học sinh trong lớp 7A được ghi lại như sau:

a) Dấu hiệu ở đây là gì? số các giá trị của dấu hiệu là bao nhiêu.

b) Lập bảng tần số và tính số trung bình cộng của dấu hiệu.

Bài 2:

a) Cho đơn thức \( A = \left ( - \cfrac{1 }{2 } xy^2  \right ) .\left ( 2x^3y \right )^2 \). Thu gọn và tính giá trị cả A khi \( x = -1 ; y = \cfrac{ 1}{2 } \).

b) Tìm hệ số a  của đa thức \( P(x) = ax^2 +2x +1 \) biết rằng \( P \left ( \cfrac{ 1}{ 2}  \right )  = 1 \)

Bài 3: Cho các đa thức:

\( F(x) = 5x^2 -1 +3x +x^2 -5x^3 \)

\( G(x) = 2 -3x^3 + 6x^2 +5x -2x^3 -x \)

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức \( F(x) , G(x) \)theo luỹ thừa giảm dần của biến.

b) Tính \( M(x) = F(x) - G(x) \). Tìm nghiệm của đa thức M(x).

c) Tìm đa thức \( N(x) \) biết \( N(x) + F(x) = - G(x) \).

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, có \( AB = 9cm,BC = 15cm \). Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho A là trung điểm của BE.

a) Tính độ dài cạnh AC và so sánh các góc của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng hai tam giác ABC và AEC bằng nhau.

c) Vẽ đường trung tuyến BH của tam giác BEC cắt cạnh AC tại M. Chứng minh M là trọng tâm của tam giác BEC và tính độ dài đoạn CM.

d) Từ A vẽ đường thẳng song song với EC, đường thẳng này cắt cạnh BC lại K. Chứng minh rằng ba điểm E. M, K thẳng hàng.

Bài 5: Cho đa thức \( f(x) = ax^3 +bx^2 +cx + d \) với a là số nguyên dương và \( f(5) - f(4) = 2019 \) . Chứng minh \( f(7) - f(2) \) là hợp số.

-------------  Hết  ------------

★ HƯỚNG DẪN ★

Bài 1: Điều tra về số lần tâng bóng của các “cầu thủ”  lóp 7A tại một trường THCS. Thầy huấn luyện viên ghi nhận kết quả trong bảng sau:

a) Lớp 7A có bao nhiêu học sinh? Có bao nhiêu học sinh tâng bóng được nhiều nhất?

b) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng.

Bài 2:

1) Cho đơn thức: \( A = \cfrac{ 3}{4 } x^3 y \left ( - \cfrac{1 }{ 3} xy^2  \right ) \)

a) Thu gọn và tìm bậc của đơn thức A.

b) Tính giá trị đơn thức A tại \( x = -2, y = 3 \).

2) Cho đa thức \( P(x) = x^4 -3x^2 -7 +4x^3 -x +4x^2 +9 -4x^3 + x \)

a) Thu gọn đa thức P(x) và sắp xếp các hạng tử theo lũy thừa giảm dần của biến; cho biết hệ số tự do, hệ số cao nhất.

b) Chứng tỏ đa thức P(x) không có nghiệm.

Bài 3:

1) Cho hai đa thức \( A = 3x^2 -7y^3 - 3x^2y^2\);   \( B = 4 + 3x^2y^2 - 7y^3 \).

a) Tính A+B

b) Tính A - B

2) Tìm nghiệm đa thức: \( x^2 -16 \)

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường phân giác BD của \( \widehat{ ABC} ( D \in AC ) \).

1) Giả sử AB = 12cm; AD = 5cm. Tính độ dài đoạn thẳng BD.

2) Vẽ AE vuông góc với BD ( \( E \in  BD) \) , tia AE cắt cạnh BC tại H ( \( H \in BC \) ) . Chứng minh: \( AB = HB \)

3) Chứng minh: DH vuông góc với BC

Bài 5: Cho hình vẽ, biết ΔDEF có \( \widehat{ E}= 58^0, \widehat{ F}= 40^0  \). Vẽ DH vuông góc với EF (\( H \in EF \) ). 

Chứng minh: \( EF < DH < HF \)

----------------  Hết  --------------------

★ HƯỚNG DẪN ★

Bài 1: Để tiết kiệm nước sinh hoạt trong mùa khô hạn trên một khu vục dân cư bằng cách điều tiết lượng nước tiêu thụ. Một công ty đã điều tra lượng nước tiêu thụ của 20 gia đình trong một tháng ( tính theo đầu người, đơn vị \( m^3\) )được ghi lại trong bảng sau:

a) Lập bảng tần số. Tính lượng nước trung bình trong một tháng mà 20 gia đình đã dùng.

b) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng và xác định mốt của dấu hiệu.

Bài 2: Cho đa thức:

\( A (x) = 4x^3 -5x^2 +5x +21 \)

\( B(x) = 4x^3 -5x^2 +3x +11 \)

a) Tính \( A(1); B(2) \)

b) Tính \( C(x) = A(x) + B(x) \)

c) Tìm x khi \( D(x) = 0 \), biết \( A(x) + D(x) = B(x) \)

Bài 3: Cho \( ΔDEF \) cân tại D, biết \( DE = 13cm, EF = 10cm\). Kẻ \( DM \perp EF ( M \in EF ) \)

a) Chứng minh: \( EM = FM \).

b) Tính \( EM; DM \).

c) Từ E và F lần lượt kẻ hai đường thẳng vuông góc với DE và DF cắt nhau tại N. Chứng minh ba điểm D, M, N thẳng hàng.

-------------------  Hết  --------------------

★ HƯỚNG DẪN ★