Bài 1: Cho biểu thức:
\( A = \cfrac{3 \sqrt{x} -4 }{\sqrt{x}+1 } \) và \( B = \cfrac{2x+\sqrt{x} -4 }{ (\sqrt{x} + 1 )(\sqrt{x}-2 ) } - \cfrac{ \sqrt{x}+2 }{\sqrt{x}+1 } + \cfrac{ 1}{\sqrt{x} -2 } \) với \( x ≥ 0 ; x ≠ 4 \)
1) Tính giá trị của A khi x = 9.
2) Rút gọn B và biểu thức \( P= A.B \)
3) Tìm x để \( P ≥ 2 \)
Bài 2: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Để đóng gói hết 600 tập vở tặng các bạn nghèo vùng cao, lớp 9A dự định dùng một số thùng carton cùng loại, số tập vở trong mỗi thùng là như nhau. Tuy nhiên, khi đóng vở vào các thùng, có 3 thùng bị hỏng, không sử dụng được nên mổi thùng phải đóng thêm 10 tập vở nữa mới hết. Tính số thùng carton ban đầu lớp 9A dự định sử dụng và số tập vở dự định đóng trong mổi thùng.
Bài 3:
1) Giải hệ phương trình: \( \left\{\begin{matrix} 2 \sqrt{ x-1} + \cfrac{1 }{y -3 } = 5 \\ 5 \sqrt{x-1} + \cfrac{ 3 }{ y -3 } = 13 \end{matrix}\right. \)
2) Cho phương trình: \( x^2 - 2 (m+2)x -2m -5 = 0 \) với ẩn x.
a) Giải phương trình với \( m = \sqrt{2} \)
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \( x_1; x_2 \) thoả mãn \( |x_1| + | x_2| = 2 \)
Bài 4: Cho đường tròn (O ), dây BC cố định. Trên cung lớn BC của (O), lấy điểm A ( A ≠ B, A ≠ C ) sao cho AB < AC. Hai tiếp tuyến qua B và C của (O) cắt nhau tại E.
1) Chứng minh tứ giác BOCE nội tiếp.
2) AE cắt (O) tại điểm thứ hai D ( D ≠ A ). Chứng minh \( EB^2 = ED.EA \)
3) Gọi F là trung điểm của AD. Đường thẳng qua D và song song với EC cắt BC tại G.
4) Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho \( AH = AC \). Chứng minh khi điểm A thay đổi trên cung lớn BC thì điểm H di động trên một đường tròn cố định.
Bài 5: Cho ba số thực dương a, b,c thoả mãn \( \cfrac{1 }{a } + \cfrac{1 }{c } = \cfrac{ 2}{ b} \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( K = \cfrac{ a+b}{ 2a -b } + \cfrac{ c+b}{ 2c -b } \)
------------------ Hết ----------------------
Bài 1: Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
a) \( 2 (x^2 - 5 ) = x \)
b) \( 3x^4 -12x^2 +9 = 0 \)
c) \( \left\{\begin{matrix} 3x = -2(y-5) \\ 5x +3y =-5 \end{matrix}\right. \)
Bài 2: Cho hàm số \( y = \cfrac{x^2 }{ 2} \) có đồ thị (P) và đường thẳng \( (d): y = \cfrac{ -x}{2 } +3 \)
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Tìm các toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép toán.
Bài 3: Cho phương trình \( x^2 - (m+1)x +m = 0 \) ( với m : tham số )
a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có nghiệm với mọi m.
b) Gọi \( x_1; x_2 \) là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã: \( x_1^2 +x_2^2 = (x_1 -1 )( x_2 -1 ) +2 \)
Bài 4: Người ta muốn lát gạch một nền nhà hình chữ nhật có chu vi 30m, chiều dài bằng \( \cfrac{3 }{ 2} \) chiều rộng. Gạch dùng để lát hình vuông có cạnh 6dm. Tính số gạch cần dùng.
Bài 5: Sau khi xem bảng giá, mẹ bạn An đưa 350.000đ nhờ An mua 1 bàn ủi, 1 bộ lau nhà. Hôm nay đúng đợt khuyến mãi, bàn ủi giảm 10%, bộ lau nhà giảm 20% nên An trả 300.000đ. Hỏi giá tiền của bàn ủi và bộ lau nhà lúc đầu là bao nhiêu?
Bài 6: Máy kéo nông nghiệp có hai bánh sau to hơn hai bánh trước. khi bơm căng, bánh xe sau có đường kính là 189cm, bánh trước có đường kính là 90cm. Hỏi khi xe chạy trên đường thẳng, bánh xe sau lăn được 10 vòng thì bánh xe trước lăn được mấy vòng?
------------------------- Hết ---------------------------
Bài 1: Giải phương trình:
a) \( 3x^2 -10x + 3 = 0 \)
b) \( 4x^4 + 5x^2 - 9 = 0 \)
Bài 2: Cho Parabol \( (P): y = \cfrac{ }{ } x^2 \) và đường thẳng \( (d): y = x+4 \)
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
Bài 3: Cho phương trình \( x^2 + (2m+1)x +m^2 - 3 = 0 \) ( m: tham số )
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng tích các nghiệm theo m.
b) Giả sử \( x_1; x_2 \) là hai nghiệm của phương trình. Tính theo m giá trị của biểu thức:
\( A = x_1^2 +x_2^2 - x_1 x_2 \)
Bài 4: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó nam nhiều hơn nữ. Trong giờ ra chơi, cô giáo đưa cả lớp 260.000đ để mỗi bạn nam một ly coca giá 5.000đ/ly, mỗi bạn nữ mua một bánh phô mai giá 8000đ/cái và được thối lại 3.000đ. Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh nam, học sinh nữ?
Bài 5: Cho hình trụ như hình bên. Cho \( BC = 15cm, DB = 25 cm \), tính thể tích hình trụ. ( \( \pi ≈ 3,14 \) )
Bài 6: Một cửa hàng piza bán hai loại bánh, loại 1 đường kính 40cm có giá 40.000đ và loại 2 đường kính 30cm có giá 30.000đ. Hỏi chọn mua loại nào có lợi hơn?
Bài 7: Từ điểm A ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là hai tiếp điểm ) và cát tuyến ADE ( D nằm giữa A và E, tia AE nằm giũa hai tia AB và AO ). Gọi I là trung điểm DE và H là giao điểm của AO và BC.
a) Chứng minh: tứ giác AIOC nội tiếp.
b) Chứng minh: \( AB^2 = AD.AE \) và \( \widehat{ EDO} = \widehat{ EHO} \)
c) Qua D kẽ đường thẳng song song với BE, đường thẳng này cắt AB, BC lần lượt tại M và N. Chứng minh \( MD= ND \).
-------------------- Hết -----------------------
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) \( 5(x^2 +1) -3x (x+3)n= 10 \)
b) \( 4x^4 + 11x^2 -20 = 0 \)
Bài 2:
a) Vẽ đồ thị hàm số \( (P): y = \cfrac{ }{ } x^2 \) trên mặt phẳng toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và đường thẳng \( (d): y = 2x + 6 \) bắng phép toán.
Bài 3:
Cho phương trình: \( x^2 -2mx + m^2 -2m + 4 = 0 \) ( m: tham số )
a) Tìm điều kiện của m để phương trình trên có nghiệm.
b) Tính tổng và tích hai nghiệm \( x_1; x_2 \) theo m.
c) Tìm các giá trị của m để hai nghiệm \( x_1; x_2 \) của phương trình thoả hệ thức: \( x_1^2 +x_2^2 - x_1 x_2 = 15 \)
Bài 4:
Để tổ chức tham quan hướng nghiệp cho 435 người gồm học sinh khối 9 và giáo viên phụ trách, nhà trường đã thuê 11 chiếc xe gồm hai loại: loại 30 chỗ và loại 45 chỗ ngồi ( không kễ tài xế ). Hỏi nhà trường thuê mỗi loại bao nhiêu xe? Biết rằng không có xe nào còn trống chỗ ngồi.
Bài 5: Tính khoảng cách giũa hai điểm B và C, biết rằng từ vị trí A ta đo được \( AB = 234m, AC =185m \) và \( \widehat{ BAC} =53^0 \).
( Kết quả phép tính làm tròn đến hàng đơn vị )
Bài 6
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE và CF của ΔABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: các tứ giác BCEF và CDHE nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh: EH là phân giác của \( \widehat{ DEF} \) và \( EB.EH = ED.EF \).
c) Từ D kẻ một đường thẳng song song với EF cắt các đường thẳng AB, CF lần lượt tại M, N. Chứng minh D là trung điểm của MN.
-------------------------- Hết -----------------------------
Bài 1:
a) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho parabol \( (P): y = \cfrac{-1 }{2 } x^2 \). Các điểm \( M(2; -2); N(\cfrac{-1 }{ 2}; \cfrac{ 1}{8 } ) \) điểm nào thuộc, không thuộc (P)?
b) Giải hệ phương trình: \( \left\{\begin{matrix} x+3y = 14 \\ x- 2y = -1 \end{matrix}\right. \)
c) Giải phương trình: \( 2x^2 +3x -2 = 0 \)
Bài 2: Cho phương trình \( x^2 -2x + m = 0 \)
a) Giải phương trình với \( m = - 48 \)
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm đó.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \( x_1; x_2 \) thoả mãn \( x_1^2 + x_2^2 = 16 \).
Bài 3: Cho đường tròn (O, R ) và điểm A sao cho OA = 3R. Qua A kẽ 2 tiếp tuyến AP và AQ của đường tròn ( P, Q là hai tiếp điểm ). Lấy M thuộc đường tròn (O) sao choPM song song với AQ. Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AM và đường tròn (O). Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K.
a) Chứng minh APOQ là tứ giác nội tiếp.
b) Kẽ đường kính SQ của đường tròn (O). Chứng minh: \( \widehat{ ANK} =2 \widehat{ SNM} \).
c) Kẽ OA cắt PK, PQ lần lượt tại G, I. Tính độ dài đoạn thẳng IG theo bán kính R.
Bài 4: Cho hai số dương a, b thoả mãn \( \cfrac{1 }{ a} + \cfrac{ 1}{b } = 2 \)
a) Chứng minh rằng: \( Q = \cfrac{1 }{a^4+b^2+2ab^2 } + \cfrac{1 }{ b^4 +a^2 +2ba^2} ≤ \cfrac{1 }{2 } \)
b) Dấu "= "xảy ra khi nào?
----------------------------- Hết ---------------------------
Bài 1: Cho hai biểu thức:
\( A = \cfrac{ 3}{\sqrt{x} -1 } - \cfrac{2 \sqrt{x} + 5 }{x - 1 } \) và \( B = \cfrac{\sqrt{x} }{\sqrt{x} -2 } \) với \( x ≥ 0 ; x ≠ 1; x ≠ 4 \)
1) Tính giá trị biểu thức B khi x = 25.
2) Rút gọn biểu thức A.
3) Đặt \( P = A.B \). Tìm tất cả các giá trị của x để \( \cfrac{1 }{ P} < \sqrt{x}-2 \)
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hưởng ứng phong trào tết trồng cây, một chi đoàn thanh niên dự định trồng 80 cây trong một thời gian nhất định. Do mổi giờ chi đoàn trồng nhiều hơn 5 cây nên đã hoàn thành công việc trước dự định 12 phút và trồng thêm được 10 cây. Tính số cây mà chi đoàn dự định trồng trong mỗi giờ.
Bài 3:
1) Giải hệ phương trình: \( \left\{\begin{matrix} \sqrt{x} + \cfrac{ 1}{ y-5} = 3 \\ 2 \sqrt{x} - \cfrac{ 3}{y-5} = 1 \end{matrix}\right. \)
2) Cho phương trình \( x^2 + mx -2 = 0 \) (1) ( với m là tham số )
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \( x_1; x_2 \) thoả mãn \( x_1^2 x_2^2 + x_2^2 x_1 = 2019 \).
Bài 4: Cho đường tròn (O, R) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C ( AC > R ). Qua kẻ đườ.ng thẳng d vuông góc với CA. Lấy điểm M trên đường tròn (O) sao cho \( AM = \cfrac{ R}{2 } \). Tia BM cắt đường thẳng d tại điểm P. Tia CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 là N, tia PA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 là Q.
1) Chứng minh tứ giác ACPM là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh \( NQ // PC \).
3) a) Tính thể tích của hình tạo thành khi quay ΔMAB một vòng quanh AM theo R.
b) Gọi H là giao điểm của QN và AB. Gọi E là giao điểm của MB và QN, tia AE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Chứng minh \( AE.AK + BE.BM = 4R^2 \).
4) Chứng minh rằng ba điểm B, N và tâm đường tròn ngoại tiếp ΔNEK thẳng hàng.
Bài 5: Tìm giá trị của m để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
\( F = \left ( 2x +y +1 \right )^2 + \left ( 4x+my+5 \right )^2 \)
------------------------------- Hết --------------------------------
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a) \( x^4 -13x^2 + 36 = 0 \)
b) \( \cfrac{ 3x^2 -15x }{ x^2 -9 } = x - \cfrac{x }{ x - 3 } \)
Bài 2: Cho hệ phương trình: (I) \( \left\{\begin{matrix} x +my = 3 \\ mx +4y =-1 \end{matrix}\right. \)
a) Giải hệ phương trình (I) với \( m =3 \).
b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình (I) có 1 nghiệm duy nhất.
Bài 3: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng\( (d): y = -x + 2 \) và parabol \( (P): y = x^2 \).
a) Vẽ đồ thị của (d) và (P) trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P) ( bằng phép tính)
c) Gọi A và B là hai giao điểm (d) và (P). Tính diện tích của tam giác OAB.
Bài 4: Cho phương trình \( x^2 - 2( m+2)x +6m +3 = 0 \) ( m: tham số )
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tính tổng và tích của hai nghiệm của phương trình theo m.
c) Gọi \( x_1; x_2 \) là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm tất cả các giá trị của m để biểu thức \( A = x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 \) có giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: Tìm tất cả các kích thước của hình chữ nhật có diện tích \( 40cm^2 \), biết rằng nếu tăng mỗi kích thước thêm 3cm thì diện tích tăng thêm \( 48cm^2\).
Bài 6: Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M ( M khác A). Từ M vẽ tuyến tuyến thứ hai MC với (O) ( C là tiếp điểm ). Kẻ \( CH \perp AB \) tại H ( \( H \in AB \) ), MB cắt (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AKNH nội tiếp.
b) \( MC^2 = MK.MB \).
c) \( \widehat{ KAC } = \widehat{ OMB} \).
---------------------------- Hết ---------------------------
Bài 1: Cho biểu thức: \( A = \left ( 1 + \cfrac{2 }{ \sqrt{x}} \right ) \left ( \cfrac{ 1}{\sqrt{x} +2 } + \cfrac{ 1}{ \sqrt{x} -2} - \cfrac{ 4}{x -4 } \right ) \) với \( x > 0 ; x ≠ 4 \)
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm x để \( A > \cfrac{1 }{2 } \)
3) Tìm x để \( A = - 2 \sqrt{x} + 5 \)
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một ô tô đi từ A đến B cách nhau 420km với vận tốc dự định. Khi đi được 120km thì ô tô tăng vận tốc thêm 15km/h và đi hết quãng đường còn lại với vận tốc mới. Tính vận tốc ban đầu của ô tô, biết thời gian đi hết quãng đường AB là 6 giờ.
Bài 3:
1) Giải hệ phương trình: \( \left\{\begin{matrix} \cfrac{3 }{ x -y } - 2 \sqrt{y +1} = 1 \\ \cfrac{1 }{ x-y} + \sqrt{y +1} = 2 \end{matrix}\right. \)
2) Cho phương trình: \( x^2 - 2( m+1)x + 2m + 1 = 0 \)
a) Giải phương trình khi \( m = 2 \)
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \( x_1; x_2 \) sao cho \( x_1^3 + x_2^3 = 2019 \)
Bài 4: Từ điểm M bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O), A và B là hai tiếp điểm. Gọi E là trung điểm của đoạn MB; C là giao điểm của AE và (O) ( C khác A), H là giao điểm của AB và MO.
1) Chứng minh 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh: \( EB^2 = EC.EA \)
3) Chứng minh tứ giác HCEB là tứ giác nội tiếp.
4) Gọi D là giao điểm của MC và (O) ( D khác O ). Chứng minh ΔABD là tam giác cân.
Bài 5: Tìm cặp số (a, b) thoả mãn \( a.b = \sqrt{2} \) và \( a^3 + 2 \sqrt{2}b^3 = 9 \).
----------------------- Hết ----------------------
Bài 1: Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
1) \( 3x^2 - 14x + 8 = 0 \)
2) \( \left\{\begin{matrix} \cfrac{1 }{x-1 } + \cfrac{ 1}{ y} = -1 \\ \cfrac{3 }{ x-1} - \cfrac{2 }{y } = 7 \end{matrix}\right. \)
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một ca nô chạy xuôi dòng trên một khúc sông dài 132km, sau đó chạy ngược dòng 104km trên khúc sông đó. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h và thời gian ca nô chạy xuôi dòng ít hơn thời gian chạy ngược dòng là 1 giờ.
Bài 3: Cho phương trình: \( x^2 - 2mx - 4 = 0 \) ( m: tham số ) (1)
1) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm \( x_1; x_2 \) thoả mãn \( x_1^2 + x_2^2 = - 3x_1 x_2 \).
Bài 4: Cho đường tròn (O:R), dây (MN < 2R). Kẻ đường kính AB vuông góc với dây MN tại E. Lấy điểm C thuộc dây MN ( C khác M, N, E ), BC cắt đường tròn (O) tại điểm K ( K khác B ).
1) Chứng minh: Tứ giác AKCE nội tiếp được một đường tròn. Chứng minh: \( BM^2 = BK.BC \).
2) Chứng minh: \( BM^2 = BK.BC \).
3) Gọi I là giao điểm của AK và MN; D là giao điểm của AC và BI.
a) Chứng minh: \( D \in (O; R) \).
b) Chứng minh điểm C cách đều ba cạnh của \( ΔDEK \).
4) Xác định vị trí điểm C trên dây MN để khoảng cách từ E đến tâm đường tròn ngoại tiếp ΔMCK nhỏ nhất.
Bài 5: Cho x,y dương thoả mãn \( x+y = 1 \).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = \cfrac{x }{ \sqrt{ 1 - x } } + \cfrac{ y }{\sqrt{1 - y} } \)
---------------------------- Hết ----------------------------
Bài 1: Cho các biểu thức
\( A = \cfrac{2 \sqrt{x} }{\sqrt{x}+3 } \) và \( B = \left ( \cfrac{ 2}{ \sqrt{x} + 2 } - \cfrac{6 - \sqrt{x} }{ 4 - x } \right ) . \cfrac{\sqrt{x} - 2 }{\sqrt{x}+ 3 } \); với \( x ≥ 0 ; x ≠ 4 \)
a) Tính giá trị biểu thức A khi \( x=9 \)
b) Chứng minh rằng \( B = \cfrac{1 }{ \sqrt{x}+3} \)
c) Cho \( P = A.B\). Tìm giá trị của x để \( P ≤ 0 \).
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể không có nước sau 4 giờ thi bể đầy. Nếu chảy một mình thì vòi 1 chảy đầy bể nhanh hơn vòi 2 là 6 giờ. Hỏi nếu chảy một mình thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu?
Bài 3:
1) Giải hệ phương trình: \( \left\{\begin{matrix} \cfrac{1 }{x-3 } - \cfrac{4 }{ y+1} = 5 \\ \cfrac{3 }{ x-3} + \cfrac{ 4}{y+1 } = -1 \end{matrix}\right. \)
2) Cho parabol (P) : \( y =x^2 \) và đường thẳng \( (d): y = 2 - mx \).
a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \( x_1; x_2 \) thỏa mãn điều kiện
\( x_1^2 x_2 + x_2^2 x_1 = 2020 \)
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (0;R) đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm H trên cạnh AB, AC.
a) Chứng minh rằng tứ giác AMHN nội tiếp được đường tròn.
b) Chứng minh rằng \( AM.AB = AH^2 \). Từ đó chứng minh \( AM.AB = AN.AC \).
c) Hai đường thẳng NM và BC cắt nhau tại Q. Chứng minh \( \widehat{ AMN}= \widehat{ ACB} \) và \( QH^2 = QM.QN \).
d) Cho \( \widehat{ DAC} =60° \) và R = 3cm. Tính diện tích tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung BC nhỏ.
Bài 5: Cho x, y là các số dương thỏa mãn: \( x + y = 3 \) .
Tìm giá trị nhò nhất của biểu thức: \( P = \cfrac{5 }{ x^2 + y^2} + \cfrac{ 3}{xy } \)
----------------------------------- Hết -----------------------------------