Bài 1:

1) Tính: \( P = \cfrac{\cfrac{1 }{2003 } + \cfrac{ 1}{ 2004} - \cfrac{ 1}{ 2005}  }{\cfrac{5 }{2003 } + \cfrac{ 5}{2004 } - \cfrac{ 5}{ 2005}  } - \cfrac{\cfrac{2 }{2002 } + \cfrac{2 }{2003 } - \cfrac{ 2}{2004 }  }{ \cfrac{3 }{2002 } + \cfrac{3 }{2003 } - \cfrac{ 3}{2004 } } \)

2)  Biết: \( 13 +23 + .. + 103 = 3025 \).

Tính: \( S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203\)

3) Cho: \( A = \cfrac{x^3 -3x^2 +0,25xy^2 -4  }{ x^2 +y } \) 

Tính giá trị của A biết \( x = \cfrac{ 1}{2 } \); y  là số nguyên âm lớn nhất.

Bài 2: Tìm x biết: \( 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117 \)

Bài 3: Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trên đồng cỏ bằng nửa thời gian chạy qua đầm lầy. Hỏi vận tốc của con thỏ trên đoạn đường nào lớn hơn ? Tính tỉ số vận tốc của con thỏ trên hai đoạn đường ?

Bài 4: Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:

1) \(  ∆ABE = ∆ADC \)

2) \( \widehat{  BMC }= 120^0 \)

Bài 5: Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm.

1) ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó.

2) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. Chứng minh: \( AE = AB\)

---------------- Hết  ---------------- 

Bài 1: Thực hiện phép tính:

a) \( \left [ 6. \left (\cfrac{-1 }{ 3}   \right )^2 -3 . \left ( -\cfrac{ 1}{3 }  \right ) +1 \right ]  : \left (- \cfrac{1 }{ 3} -1   \right ) \)

b) \( \cfrac{ \left ( \cfrac{ 2}{3 }   \right )^3  . \left ( - \cfrac{3 }{ 4}  \right )^2 . \left ( -1 \right )^{2003}}{\left ( \cfrac{2 }{ 5}  \right )^2 . \left ( \ - \cfrac{5 }{12 }  \right )^3  }  \)

Bài 2:

a) Tìm số nguyên a để \( \cfrac{a^2 +a +3  }{a +1  } \) là số nguyên

b) Tìm số nguyên x,y sao cho \( x - 2xy + y = 0\)

Bài 3:

a) Chứng minh rằng nếu \( a + c = 2b \) và \( 2bd = c (b+d)\)  thì \( \cfrac{a }{ b} = \cfrac{ c}{d } \) với b,d khác 0.

b) Cần bao nhiêu số hạng của tổng \( S = 1+2+3+… \)  để được một số có ba chữ số giống nhau .

Bài 4: Cho tam giác ABC có \( \widehat{ B} = 45^0, \widehat{ C } = 120^0 \). Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho \( CD = 2CB \). Tính góc ADE.

Bài 5: Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn: \( x^2 - 2y^2 =1 \)

---------------- Hết  ---------------- 

Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết \( \left |  a \right | ≤ 4 \)

Bài 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn \( - \cfrac{ 9}{10 } \) và nhỏ hơn \( - \cfrac{9 }{ 11} \)

Bài 3: Cho 2 đa thức 

\( P(x) = x^2 +2mx + m^2 \)

\( Q(x) = x^2 + (2m+1)x +m^2 \)

Tìm m biết \( P (1) = Q (-1)\)

Bài 4: Tìm các cặp số (x; y) biết: 

a) \( \cfrac{x }{ 3} = \cfrac{y }{7 }; xy = 84 \)

b) \( \cfrac{ 1+3y}{ 12} = \cfrac{ 1+5y}{5x } = \cfrac{1+7y }{4x } \)

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau : 

\( A = \left | x+1  \right | +5 \)

\( B = \cfrac{x^2 +15 }{ x^2 +3 } \)

Bài 6: Cho tam giác ABC có \( \widehat{ A} < 90^0 \) . Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.

a) Chứng minh: \( DC = BE\) và \( DC \perp BE \).

b) Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho \( NA = NM \).

Chứng minh: \( AB = ME \) và \( ΔABC =Δ  EMA\).

c) Chứng minh: \( MA \perp BC \).

---------------- Hết  ---------------- 

Bài 1:

a) Thực hiện phép tính: 

\( A = \cfrac{ 2^{12} .3^5 - 4^6 .9^2 }{ (2^2 .3)^6 +8^4 .3^5 } - \cfrac{ 5^{10}.7^3 -25^5 . 49^2}{ (125)^3 + 5^9 .14^3 } \)

b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 

\( 3^{n+2} - 2^{n+2} +3^n - 2^n \) chia hết cho 10.

Bài 2: Tìm x biết:

a) \( \left |  x - \cfrac{1 }{ 3} \right | + \cfrac{4 }{5 } = \left | 2,5 + \cfrac{2 }{5 }  \right | \)

b) \( \left ( x-7 \right )^{x+1} - \left ( x -7  \right )^{x +11} = 0 \)

Bài 3:

a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo \( \cfrac{ 2}{5 } : \cfrac{ 3}{4 } :\cfrac{ 1}{ 6} \) . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A.

b) Cho \( \cfrac{a }{c } = \cfrac{c }{ b} \). Chứng minh rằng: \( \cfrac{ a^2+c^2}{ b^2+c^2} = \cfrac{ a}{b } \)

Bài 4: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:

a) AC = EB và AC // BE

b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng

c) Từ E kẻ \( EH \perp BC ( H \in BC) \). Biết \( \widehat{ HBE }= 50^0 ; \widehat{ MEB }=25^0\) . Tính \( \widehat{ HEM } \)  và \( \widehat{  BME} \).

Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A có \( \widehat{ A} = 20^0 \), vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:

a) Tia AD là phân giác của góc BAC.

b) AM = BC.

-----------  Hết  --------------

Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương:

a) \( \cfrac{ 1}{ 8} . 16^n = 2^n \)

b) \( 27 < 3^n < 243 \)

Bài 2. Thực hiện phép tính: 

\(  \left (  \cfrac{1 }{4.9 } + \cfrac{1 }{ 9.14} + \cfrac{ 1}{ 14.19} + ...+ \cfrac{ 1}{ 44.49} \right ) . \cfrac{1-3-5-7-...-49 }{89 } \)

Bài 3.

a) Tìm x biết: \( \left |  2x + 3 \right | = x + 2 \)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của  \( A = \left | x - 2006 \right | + \left | 2007 - x  \right | \)  khi x thay đổi.

Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng.

Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho \( DM = MA\). Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho \( CI = CA\), qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E.

Chứng minh: \( AE = BC \)

---------------- Hết  ----------------