Bài 1: Cho biểu thức:

\( A= \left ( \cfrac{6x+1 }{x^2-6x } + \cfrac{ 6x-1}{x^2 +6  }  \right ) . \cfrac{ x^2 - 36}{ 12x^2 +12} \) ( với x ≠ 0 )

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tính giá trị biểu thức A với \( x=\cfrac{1 }{\sqrt{9 +4 \sqrt{5}} } \)

Bài 2:

a) Chứng minh đẳng thức: \( x^2+y^2+1 ≥  x.y + x + y \) ( với mọi x, y )

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: \( A = \cfrac{x-2 }{ x^3 -x^2 -x -2 } \) 

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD . Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của C qua P.

a) Tứ giác AMDB là hình gi?

b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AD , AB. Chứng minh: \( EF // AC\) và ba điểm E,F,P thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.

d) Giả sử \( CP \perp DB\)  và \(  CP = 2,4 cm ; \cfrac{PD }{ PB} = \cfrac{ 9}{16 } \). Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD.

Bài 4: Cho hai bất phương trình:

\( 3mx-2m > x+1\)  (1)

\( m-2x < 0\)  (2)

Tìm m để hai bất phương trình trên có cùng một tập nghiệm.

---------------- Hết  ---------------- 

Bài 1: Cho biểu thức:

\( M = \left (\cfrac{x^2 -1  }{x^4 -x^2 +1  } - \cfrac{1 }{ x^2 +1}   \right ) \left ( x^4 + \cfrac{1-x^4 }{ 1+x^2}   \right ) \)

a) Rút gọn M.

b) Tìm giá trị bé nhất của M.

Bài 2: Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

\( A = \cfrac{ 4x^3 -3x^2 +2x - 83 }{x -3  } \)

Bài 3: Giải phương trình:

a) \( x^2 -2005 x - 2006 = 0 \)

b) \( \left |  x -2 \right | + \left | x -3  \right | + \left |  2x -8 \right | = 9 \)

Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là 1 điểm trên cạnh BC. Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE . Ax cắt CD tại F . Trung tuyến AI của ΔAEF cắt CD ở K. Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G. Chứng minh:

a) \( AE = AF\)  và tứ giác EGKF là hình thoi .

b) \( ΔAEF \backsim  Δ  CAF \) và \( AF^2 = FK.FC \).

c) Khi E thay đổi trên BC chứng minh : \( EK = BE + DK\) và chu vi ΔEKC không đổi.

Bài 5:  Chứng minh: \( B = n^4 -14n^3 +71n^2 -154n +120 \) chia hết cho 24

---------------- Hết  ---------------- 

Bài 1: Cho biểu thức \( A = \left ( \cfrac{ x^2}{ x^2 - 4x} + \cfrac{ 6}{ 6-3x} +\cfrac{ 1}{ x+2}  \right ) : \left ( x -2 + \cfrac{ 10-x^2 }{x+ 2 }  \right ) \)

a) Tìm điều kiện của x để A xác định .

b) Rút gọn biểu thức A .

c) Tìm giá trị của x để A > O

Bài 2: Giải phương trình sau: \( \cfrac{ x^2 -4x +1}{x+1 } + 2 = - \cfrac{x^2 -5x +1 }{ 2x+1} \)

 

Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Qua A kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S.

1) Chứng minh ΔAQR là các tam giác cân.

2) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS . Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

3) Chứng minh P là trực tâm ΔSQR.

4) MN là trung trực của AC.

5) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.

Bài 4: Cho biểu thức \( A = \cfrac{2x^2 +3x +3 }{2x+1  } \)

Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên

Bài 5:

a) Chứng minh rằng: \( x^3 + y^3 +z^3 = \left (  \right )^3 - 3xy(x+y) + z^3 \)

b) Cho \( \cfrac{1 }{ x} + \cfrac{1 }{y } + \cfrac{1 }{ z} = 0 \)

Tính: \( A = \cfrac{ yz}{ x^2} + \cfrac{xz }{y^2 } + \cfrac{xy }{z^2 } \)

---------------- Hết  ---------------- 

Bài 1:

1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \( x^2 + 7x + 12 \)

b) \( a^{10} + a^5 + 1 \)

2) Giải phương trình: \( \cfrac{ x+2}{ 98} + \cfrac{x+4 }{96 } = \cfrac{ x+ 6}{ 94} + \cfrac{ x+8 }{92 } \)

Bài 2: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức \( P = \cfrac{2x^2 +3x+3 }{2x-1  } \) có giá trị nguyên.

Bài 3: Cho tam giác ABC ( AB > AC )

1) Kẻ đường cao BM; CN của tam giác. Chứng minh rằng:

a) \( Δ ABM \backsim Δ ACN \).

b) \( \widehat{ AMN} = \widehat{ ABC} \).

2) Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho \( BK = AC\). Gọi E là trung điểm của BC; F là trung điểm của AK. Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax của góc BAC.

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\( A = \cfrac{ x^2 -2x +2007}{2007x^2 } \)  ( x ≠ 0 )

---------------- Hết  ---------------- 

Bài 1:

a) Rút gọn biểu thức:

\( A= (2+1)(2^2+1)(2^4+1).......( 2^{256} + 1) + 1 \)

b) Nếu \(  x^2=y^2 + z^2 \)

Chứng minh rằng: \( (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)^2 \)

Bài 2:

a) Cho:

\( \cfrac{ x}{a } + \cfrac{ y}{b } + \cfrac{ z}{c } = 0 \) (1)

\( \cfrac{a }{ x} + \cfrac{b }{y } + \cfrac{c }{ z} = 2 \) (2)

Tính giá trị biểu thức  \( A = \cfrac{x^2 }{ a^2} + \cfrac{ y^2}{b^2 } + \cfrac{z^2 }{ c^2} \)

b) Biết \( a+ b+ c = 0 \). Tính \( B = \cfrac{ ab}{a^2 +b^2 -c^2 } + \cfrac{bc }{ b^2 +c^2 - a^2} + \cfrac{ca }{ c^2+a^2 - b^2} \)


Bài 3: Tìm x , biết :

\( \cfrac{x-1 }{ 2006} + \cfrac{ x-10}{1997 } + \cfrac{x-19 }{1988 } = 3 \)

Bài 4: Cho hình vuông ABCD, \( M \in AC \). Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng:

a) \( BM \perp EF \)

b) Các đường thẳng BM, EF, CE đồng quy.

Bài 5: Cho a,b, c, là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

\( P = (a+b+c)\left ( \cfrac{1 }{ a} +\cfrac{1 }{ b} +\cfrac{1 }{ c}  \right ) \)

---------------- Hết  ---------------- 

Bài 1: Tìm một số có 8 chữ số: \( \overline{a_1 a_2 ... a_8} \) thoã mãn 2 điều kiện a và b sau:

a) \( \overline{a_1 a_2 a_3 } = \left ( \overline{a_7 a_8 }  \right )^2 \)

b) \( \overline{a_4 a_5 a_6 a_7 a_8} = \left ( \overline{a_7 a_8 }  \right )^3 \)

Bài 2: Chứng minh rằng: \( ( x^m + x^n + 1 )\)  chia hết cho \( x^2 + x + 1 \) khi và chỉ khi \( ( mn – 2) \: \vdots \:  3 \)

Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: \( x^7 + x^2 + 1\).

Bài 3: Giải phương trình:

\( \left (  \cfrac{ 1}{ 1.2.3} + \cfrac{ 1}{2.3.4 } + ... + \cfrac{1 }{2005.2006.2007 } \right ) x =1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 2006.2007  \)

Bài 4: Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD). Gọi O là giao điểm của AC và BD; các đường kẻ từ A và B lần lượt song song với BC và AD cắt các đường chéo BD và AC tương ứng ở F và E. Chứng minh:

a) \( EF // AB \)

b) \( AB^2 = EF.CD\).

c) Gọi \( S_1 , S_2, S_3 ,S_4\) theo thứ tự là diện tích của các tam giác OAB; OCD; OAD Và OBC. Chứng minh: \( S_1 . S_2 = S_3 . S_4\) .

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất: \( A = x^2 - 2xy + 6y^2 – 12x + 2y + 45 \).

---------------- Hết  ---------------- 

Bài 1: Chứng minh rằng:

a) \( 8^5 + 2^{11} \) cha hết cho 17

b) \( 19^{19} + 69^{19} \) chia hết cho 44

Bài 2:

a) Rút gọn biểu thức: \( \cfrac{ x^2 + x -6 }{x^3 -4x^2 -18x + 9  } \)

b) Cho \( \cfrac{ 1}{x } + \cfrac{ 1}{ y} + \cfrac{ 1}{z } = 0 \)  ( \( x, y , z ≠ 0 \) )

Tính: \( \cfrac{ yz}{ x^2} + \cfrac{xz }{y^2 } + \cfrac{xy }{ z^2} \)

Bài 3: Cho tam giác ABC . Lấy các điểm D,E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA, CA sao cho \( BD = CE = BC \). Gọi O là giao điểm của BE và CD .Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳmg này cắt AC ở K.

Chứng minh rằng \( AB = CK \).

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có):

\( M = 4x^2 + 4x + 5 \)

---------------- Hết  ----------------