-
Trang chủ
-
📖 BỘ ĐỀ KIỂM TRA
-
✪ THI HS GIỎI
- ★ TOÁN 9
Bài 1: Cho
a) Rút gọn biểu thức \( A = \cfrac{2 \sqrt{x} - 9 }{x - 5 \sqrt{x} +6 } + \cfrac{ 2 \sqrt{x} + 1}{ \sqrt{x} -3 } + \cfrac{ \sqrt{x}+ 3 }{2 - \sqrt{x} } \) ( x ≥ 0 , x ≠ 4 , x ≠ 9 ).
b) Tìm giá trị của x để \( A = - \cfrac{1 }{ 2} \)
Bài 2:
a) Tính \( \sqrt{ 8 - 2 \sqrt{15}} - \sqrt{8 + 2 \sqrt{15}} \)
b) Cho \( x^2 – x – 1 = 0 \). Tính giá trị của biểu thức: \( P = \cfrac{ x^6 - 3x^5 +3x^4-x^3 + 2015}{ x^6 - x^3 -3x^2 -3x + 2015} \)
c) Giải phương trình: \( x + \cfrac{3x }{ \sqrt{x^2 -9} } = 6 \sqrt{2} \)
Bài 3:
a) Tìm số nguyên dương n bé nhất để \(F = n^3 + 4n^2 – 20n – 48\) chia hết cho 125.
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n >1 thì số \( A = n^6 - n^4 +2n^3 + 2n^2 \) không thể là số chính phương.
Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a) \( S_{ABC} =\cfrac{1 }{ 2} AB.BC. \sin B \)
\( AE.BF.CD = AB.BC.CA. \cos A. \cos B. \cos C \).
b) \( \tan B. \tan C = \cfrac{AD }{ HD} \) .
c) H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DEF.
d) \( \cfrac{ HB.HC}{AB.AC } + \cfrac{HC.HA }{ BC.A} + \cfrac{HA.HB }{CA.CB } = 1 \)
Bài 5: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: \( \sqrt{ x^2+y^2 } + \sqrt{y^2 + z^2 } + \sqrt{z^2 + x^2 } = 2015\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \( T = \cfrac{ x^2}{y+z } + \cfrac{ y^2}{z+x } + \cfrac{ z^2}{ x+y} \)
---------------- Hết ----------------
Bài 1:
a) Tính giá trị biểu thức: \( Q = \cfrac{a^6 -2a^5 +a -2 }{ a^5 + 1 } \)
Biết \( \cfrac{ a}{x+y } = \cfrac{ 5}{ z+z} \) và \( \cfrac{ 25}{ (x+z)^2 } = \cfrac{16 }{ (x-y)(2x+y+z) } \)
b) Cho các số nguyên \( a, b, c ≠ 0 \) thoả mãn: \( \cfrac{1 }{ a} + \cfrac{1 }{ b} + \cfrac{1 }{ c} = \cfrac{ 1}{abc } \)
Chứng minh rằng: \( (1+a^2 )(1+b^2 )(1 + c^2 ) \) là số chính phương.
Bài 2:
a) Giải phương trình: \( \cfrac{x - 241 }{17 } + \cfrac{ x - 220}{19 } + \cfrac{ x - 195 }{ 21} + \cfrac{x - 166 }{23 } = 10 \)
b) Giải phương trình nghiệm nguyên: \( x( x^2 + x + 1) = 4y( y + 1) \)
Bài 3:
a) Cho a, b, c là các số thực dương sao cho \( a ≥ c, b ≥ c \).
Chứng minh rằng \( \sqrt{ c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} ≤ \sqrt{ab} \)
b) Giả sử f(x) là đa thức bậc 4 với hệ số nguyên.
Chứng minh rằng: Nếu \( f(x) \: \vdots \: 7 \) với mọi \( x \in Z \) thì từng hệ số của f(x) cũng chia hết cho 7.
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’; H là trực tâm.
a) Tính tổng \( \cfrac{HA' }{ AA'} + \cfrac{HB' }{ BB'} + \cfrac{HC' }{ CC'} \)
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: \( AN.BI.CM = BN. IC.AM \)
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức \( \cfrac{ \left ( AB +BC + CA \right )^2 }{(AA')^2 + (BB')^2 + (CC')^2 } \) đạt giá trị nhỏ nhất?
Bài 5: Cho hình vuông MNPQ, lấy điểm E thuộc cạnh MQ, điểm F thuộc cạnh NP sao cho\( ME = PF \). Các đường thẳng MF và NE cắt đường thẳng PQ lần lượt tại C và B. Kéo dài MB và NC cắt nhau tại A. Chứng minh rằng tam ABC là tam giác vuông.
---------------- Hết ----------------
Bài 1: Cho \( P = \cfrac{ x \sqrt{x} -2x - \sqrt{x} +2 }{ x \sqrt{x} - 3 \sqrt{x} - 2 } + \cfrac{ x \sqrt{x} + 2x - \sqrt{x} -2 }{ x \sqrt{x} -3 \sqrt{x} + 2 } \)
1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P > 1
2. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất
Bài 2:
1. Giải phương trình: \( \cfrac{\left | 5-3x \right | - \left | x -1 \right | }{x -3 + \left | 3 + 2x \right | } = 4 \)
2. Tìm số nguyên x, y thỏa mãn \( x^2 + xy + y^2 = x^2 y^2 \)
Bài 3:
1. Cho \( a = x + \cfrac{ 1}{x } , b = y + \cfrac{ 1}{y } ; c = xy + \cfrac{1}{xy } \).
Tính giá trị biểu thức: \( A = a^2 + b^2 + c^2 – abc \)
2. Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta luôn có: \( 3(x^2 - \cfrac{1}{x^2 } ) < 2(x^3 - \cfrac{1 }{x^3 } ) \)
Bài 4: Cho tứ giác ABCD có AD = BC; AB < CD. Gọi I, Q, H, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD
1. Chứng minh IPHQ là hình thoi và PQ tạo với AD, BC hai góc bằng nhau.
2. Về phía ngoài tứ giác ABCD, dựng hai tam giác bằng nhau ADE và BCF. Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AB, CD, EF cùng thuộc một đường thẳng.
Bài 5: Tam giác ABC có BC = 40cm, phân giác AD dài 45cm đường cao AH dài 36cm. Tính độ dài BD, DC.
Bài 6: Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức \( (1 + a)(1 + b) = \cfrac{ 9}{ 4} \) . Hãy tìm giá trị lớn nhất của \( P = \sqrt{1 +a^4} + \sqrt{ 1 + b^4 } \)
---------------- Hết ----------------
Bài 1: Cho \( P = \left ( 1 - \cfrac{x - 3 \sqrt{x} }{ x -9 } \right ) : \left ( \cfrac{ 9-x}{ x - \sqrt{x} -6 } - \cfrac{ \sqrt{x} - 3 }{ 2 - \sqrt{x} } - \cfrac{\sqrt{x} - 2 }{ \sqrt{x} + 3 } \right ) \)
1. Rút gọn P.
2. Tìm x để P > 0.
3. Với x > 4, x ≠ 9. Tìm giá trị lớn nhất của \( P.(x + 1) \).
Bài 2:
1. Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho \( n^2 – 14n – 256 \) là 1 số chính phương.
2. Cho: a > 0, b > 0 và ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\( A = \left ( a+b+1 \right ) \left ( a^2 +b^2 \right ) + \cfrac{ 4}{ a+b } \)
Bài 3: Cho hệ phương trình: \( \left\{\begin{matrix} \sqrt{x} + \sqrt{2012 - y } = \sqrt{2012} \\ \sqrt{2012-x} + \sqrt{y} = \sqrt{2012} \end{matrix}\right. \)
1. Chứng minh rằng: x = y
2. Tìm nghiệm của hệ phương trình.
Bài 4: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’ ; R’ ) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’ ). Vẽ dây AM của đường tròn (O) và dây AN của đường tròn (O’) sao cho \( AM \perp AN \). Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O) và (O’) với \( B \in (O)\) và \( C \in (O’) \)
1. Chứng minh \( OM // O’N \).
2. Chứng minh: Ba đường thẳng MN, BC, OO’ đồng qui.
3. Xác định vị trí của M và N để tứ giác MNO’O có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
Bài 5:
1. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi HA, HB, HC lần lượt là các đường cao và MA, MB, MC lần lượt là trung tuyến của các cạnh BC, CA, AB; R và r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
\( \cfrac{MA }{ HA} + \cfrac{MB }{HB } + \cfrac{ MC}{HC } ≤ \cfrac{R + r }{r } \)
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b sao cho: \( a + b^2\) chia hết cho \( a^2b – 1\).
---------------- Hết ----------------
Bài 1: Cho biểu thức: \( B = \cfrac{ 1}{\sqrt{x-1} - \sqrt{x} } + \cfrac{ 1}{\sqrt{x-1} + \sqrt{x} } + \cfrac{x \sqrt{x} -x }{ \sqrt{x} - 1 } \)
a. Rút gọn biểu thức B.
b. Tìm x để B > 0.
c. Tính giá trị của B khi \( x = \cfrac{53 }{ 9 - 2 \sqrt{7} } \)
Bài 2:
a. Giải phương trình : \( \sqrt{ x -1 + 4 \sqrt{x -5} } + \sqrt{-1 +x -4 \sqrt{x-5} } = 4 \)
b. Chứng minh rằng: \( \sqrt{10} \) là số vô tỉ.
Bài 3:
a. Vẽ đồ thị hàm số: \( y = \left | 2x + 1 \right | \)
b. Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số ở câu a với đồ thị hàm số \( y = 3x – 5\).
Bài 4: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Trên các bán kính OA, OB lần lượt lấy các điểm M và N sao cho OM = ON. Qua M và N vẽ các dây CD và EF song song với nhau (C, E cùng thuộc một nửa đường tròn đường kính AB).
a. Chứng minh tứ giác CDFE là hình chữ nhật.
b. Cho \( OM = \cfrac{2 }{3 } R \), góc nhọn giữa CD và OA bằng \( 60^0 \). Tính diện tích hình chữ nhật CDFE.
Bài 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích ngũ giác đó.
Bài 6:
a. Cho a, b, c là các số thực, chứng minh rằng: \( a^4 + b^4 + c^4 ≥ abc(a+b+c ) \)
b. Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chữ số \( \overline{abc} \) sao cho \( \left\{\begin{matrix} \overline{abc} = n^2 -1 \\ \overline{cba} = (n-2)^2 \end{matrix}\right. \)
Với n là số nguyên lớn hơn 2.
---------------- Hết ----------------
Bài 1:
1) So sánh: \( \cfrac{ 2008}{ \sqrt{2009}} + \cfrac{2009 }{ \sqrt{2008}} \) và \( \sqrt{2008} + \sqrt{2009} \)
2. Cho biểu thức: \( B = \cfrac{1 }{ \sqrt{1}} + \cfrac{ 1}{\sqrt{2} } + \cfrac{ 1}{\sqrt{3} } +...+ \cfrac{ 1}{ \sqrt{2010} } \)
Chứng minh rằng \( B > 86 \)
Bài 2. Chứng minh biểu thức : \( P = \left ( x^3-4xb-1 \right )^{2010} \) có giá trị là một số tự nhiên với \( x = \cfrac{\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}} .(\sqrt{3}-1) }{\sqrt{6+2\sqrt{5} } - \sqrt{5} } \)
Bài 3.
1. Giải phương trình sau: \( \sqrt{2x-1} +2 = x \)
2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn \( y = \sqrt{x^2+4x+5} \)
Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I
1. Chứng minh : \( \cfrac{1 }{ AM^2} + \cfrac{1 }{ AK^2} = \cfrac{ 1}{ AB^2} \)
2. Biết góc MAN có số đo bằng \( 45^0\) , \( CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm\). Tính diện tích ΔAMN.
3. Từ điểm O trong ΔAIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, AK ( \( P \in IK, Q \in AK, R \in AI \) ). Xác định vị trí của O để \( OP^2 + OQ^2 + OR^2 \) nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 5: Cho ba số a, b, c thỏa mãn \( O ≤a, b, c, ≤ 2 \) và \( a+b+c = 3 \) . Chứng minh rằng:
\( a^3 + b^3 + c^3 ≤ 9 \)
---------------- Hết ----------------
Bài 1:
a) Tính giá trị của đa thức \( f(x) = \left ( x^4 -3x +1 \right )^{2016} \) tại \( x = 9 - \cfrac{1 }{\sqrt{ \cfrac{ 9}{4 } - \sqrt{5}} } + \cfrac{1 }{ \sqrt{ \cfrac{ 9}{ 4} + \sqrt{5} } } \)
b) So sánh: \( \sqrt{ 2017^2 -1 } - \sqrt{2016^2 - 1 } \) và \( \cfrac{ 2.2016}{\sqrt{2017^2 -1 } + \sqrt{2016^2 -1 } } \)
c) Tính giá trị biểu thức: \( \sin x . \cos x + \cfrac{\sin^2 x }{1+\cot x } + \cfrac{ \cos^2 x }{ 1+ \tan x } \) với \( 0^0 < x < 90^0 \)
d) Biết \( \sqrt{5} \) là số vô tỉ, hãy tìm các số nguyên a, b thỏa mãn:
\( \cfrac{2 }{a+b \sqrt{5} } - \cfrac{3 }{ a - b \sqrt{5} } = -9 - 20 \sqrt{5} \)
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) \( \cfrac{ 3}{ x-3} - \cfrac{2 }{x-1 } = \cfrac{ x-1}{2 } - \cfrac{ x -3 }{3 } \)
b) \( x^2 -5x + 8 = 2 \sqrt{x -2 } \)
Bài 3:
a) Cho đa thức \( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 5.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \( x^2 – xy + y^2 – 4 = 0 \)
c) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng \( n^4 + 4^n \) là hợp số.
Bài 4:
a) Chứng minh rằng: \( \cfrac{ a^4 + b^4}{ 2} ≥ ab^3 +a^3 b - a^2 b^2 \)
b) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện \( \cfrac{ 1}{ a+b+1} + \cfrac{ 1}{b+c+1 } + \cfrac{1 }{ c+a+1} = 2 \).
Tìm giá trị lớn nhất của tích \( (a + b)(b + c)(c + a) \).
Bài 5: Cho ΔABC nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt nhau tại H. Gọi chân các đường vuông góc hạ từ D xuống AB, AC lần lượt là E và F
a) Chứng minh rằng: \( AE.AB = AF.AC \)
b) Giả sử \( HD =\cfrac{1 }{ 3} AD \). Chứng minh rằng: \( \tan B . \tan C = 3 \)
c) Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến BI và CK. Chứng minh rằng: 4 điểm E, M, N, F thẳng hàng.
---------------- Hết ----------------
Bài 1: Cho biểu thức: \( P = \cfrac{x^2 - \sqrt{x} }{x + \sqrt{x} +1 } - \cfrac{2x+ \sqrt{x} }{ \sqrt{x} } +\cfrac{ 2(x-1)}{ \sqrt{x} -1 } \)
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
c) Xét biểu thức: \( Q = \cfrac{ 2 \sqrt{x}}{ P} \),chứng tỏ \( 0 < Q < 2\).
Bài 2:
a) Không dùng máy tính hãy so sánh: \( \cfrac{2014 }{\sqrt{2015} } + \cfrac{ 2015}{\sqrt{2014} } \) và \( \sqrt{2014} + \sqrt{2015} \) .
b) Tìm x, y, z, biết: \( 4x^2 + 2y^2 + 2z^2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10 ≤ 0 \)
c) Giải phương trình: \( \sqrt{\cfrac{1 }{x + 3 } } + \sqrt{ \cfrac{5 }{ x+4} } = 4\)
Bài 3:
a) Với \( x = \cfrac{(\sqrt{5} + 2 ) \sqrt[3]{ 17\sqrt{15} - 38 } }{\sqrt{5} + \sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} } \). Tính giá trị của biểu thức: \( B =\left ( 3x^3 + 8x^2 -2 \right )^{2015} \)
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) với \( x > 1, y > 1\) sao cho \( (3x+1) \: \vdots \: y \) đồng thời \( (3y + 1) \: \vdots \: x \).
Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng: \( ΔAEF \backsim ΔABC \) ; \( \cfrac{ S_{AEF}}{ S_{ABC}} = \cos^2 A \).
b) Chứng minh rằng: \( S_{DEF} = \left (1 - \cos^2 A - \cos^2 B - \cos^2 C \right ). S_{ABC} \)
c) Cho biết \( AH = k.HD \). Chứng minh rằng: \( \tan B . \tan C = k + 1\).
d. Chứng minh rằng: \( \cfrac{ HA}{ BC} + \cfrac{ HB}{AC } + \cfrac{ HC}{ AB} ≥ \sqrt{3} \)
Bài 5: Cho x, y là các số tự nhiên khác 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\( A = \left | 36^x - 5^y \right | \)
---------------- Hết ----------------