Bài 1 ( 2 điểm)

Cho hai biểu thức \( A = \cfrac{4 \left (  \sqrt{x} + 1 \right )  }{ 25 -x } \) và \( B = \left ( \cfrac{15 - \sqrt{x}  }{x - 25  } + \cfrac{ 2 }{\sqrt{x} +5  }  \right ) : \cfrac{\sqrt{x}+ 1  }{ \sqrt{x} - 5 } \) với x ≥ 0, x≠ 25.

1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9.

2) Rút gọn biểu thức B.

3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức \( P= A.B \) đạt giá trị nguyên lón nhất.

Bài 2 ( 2,5 điểm )

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 15 ngày thì làm xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ 2 làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu mổi đội làm riêng thì trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?

2) Một bồn nước có dạng hình trụ với chiều cao 1,75m và diện tích đáy là \( 0,32m^2\). Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu khối nước? ( Bỏ qua bề dày của bồn nước )

Bài 3 ( 2 điểm ) 

1) Giải phương trình: \( x^4 - 7x^2 - 18 = 0 \)

2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng \( (d) : y = 2mx -m^2 + 1 \) và parabol \( (P) : y=x^2 \) 

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \( x_1; x_2 \) thoả mãn \( \cfrac{ 1}{ x_1} + \cfrac{1 }{ x_2} = \cfrac{ -2}{ x_1 x_2 } + 1 \).

Bài 4 ( 3 điểm )

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H.

1) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF.

3) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng OA cắt đường thẳng BC tại điểm I, đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P. Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP.

Bài 5 ( 0,5 điểm )

Cho biểu thức \( P = a^4 + b^4 - ab \), với a, b là các số thực thoả mãn \( a^2 + b^2 +ab = 3 \). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P.

-----------------------  HẾT  ---------------------

Bài 1 ( 1,5 điểm)

a) Tính \( A = \sqrt{12} + \sqrt{18} - \sqrt{8}  - 2 \sqrt{3} \)

b)  Cho biểu thức \( B = \sqrt{ 9x+9} + \sqrt{4x+4} + \sqrt{x+1} \)   với  \( x ≥ -1 \).  Tìm x sao cho B có giá trị là 18.

Bài 2 ( 2 điểm)

a) Giải hệ phương trình \( \left\{\begin{matrix}  x+ 2y = 3 \\   4x+5y = 6  \end{matrix}\right. \) 

b) Giải phương trình \( 4x^4 + 7x^2 -2 = 0 \)

Bài 3 ( 1,5 điểm )

Cho hai hàm số \( y = 2x^2 \) và \( y = -2x + 4 \)

a) Vẽ đồ thị các hàm số này trên cùng một mặt phẳng toạ độ.

b) Tìm toạ độ hai giao điểm A, B của hai đồ thị đó. Tính khoảng cách từ điểm M(-2; 0) đến đường thẳng AB.

Bài 4 ( 1 điểm )

Cho phương trình \( 4x^2 + ( m^2 + 2m -15)x + (m+1)^2 -20 - 0 \), với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm \( x_1, x_2 \) thoả mãn hệ thức \( x_1^2 +x_2+ 2019 = 0 \).

Bài 5 ( 1 điểm )

Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 80m^2. Nếu giảm chiều rộng 3m và tăng chiều dài 10 thì diện tích mảnh đất tăng thêm \( 20m^2\). Tính kích thước của mảnh đất.

Bài 6 ( 3 điểm)

Cho đường tròn (O), đường kính AB và C là điểm nằm trên đoạn thẳng OB ( với C ≠ B ). Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Gọi K là giao điểm thứ hai của BD với đường tròn đường kính BC.

a) Chứng minh tứ giác DHCK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh CE song song với AD và ba điểm E, C, K thẳng hàng.

c) Đường thẳng qua K vuông góc với DE cắt đường tròn (O) tại 2 điểm M và N ( M thuộc cung nhỏ AD ). Chứng minh rằng \( EM^2 + DN^2 = AB^2 \).

----------------  HẾT  -------------------

Bài 1 ( 2 điểm )

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

1) \( x^2 - 7x + 10 = 0 \)

2) \( (x^2 + 2x)^2 - 6x^2 -12x + 9 = 0 \)

3) \( \left\{\begin{matrix} 4x-y =7  \\  5x+y = 2   \end{matrix}\right. \)

Bài 2 ( 1,5 điểm)

Cho Parabol (P): \( y = \cfrac{ 1}{ 2} x^2 \) và đường thẳng \( (d): y = x+ m 1 \)  ( m: tham số ).

1) Vẽ đồ thị (P).

2) Gọi \( A( x_A; y_A), \: B (x_B; y_B) \) là hai điểm phân biệt của (d) và (P). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để \( x_A >0 \) và \( x_B > 0 \). 

Bài 3 ( 1,5 điểm )

Cho phương trình: \( x^2 +ax +b + 2 =0 \)  ( a, b là tham số )

Tìm tất cả các giá trị của tham số a, b để phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt \( x_1; x_2 \) thoả mãn điều kiện: \( \left\{\begin{matrix} x_1 - x_2 = 4 \\    x_1^3 -x_2^3 = 28 \end{matrix}\right. \)

Bài 4 ( 1,5 điểm)

Một tổ công nhân theo kế hoạch phải làm 140 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện năng xuất của tổ vượt năng xuất dự định 4 sản phẩm mổi ngày. Do đó tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 4 ngày. Hỏi thực tế mổi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm.

Bài 5 ( 3,5 điểm) 

Cho đường tròn (O;R). Từ một điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O;R) sao cho OM = 2R, vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) ( A, B là hai tiếp điểm ). Lấy một điểm N tuỳ ý trên cung nhỏ AB. Gọi I, H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N trên AB, AM, BM.

1) Tính diện tích tứ giác MAOB theo R.

2) Chứng minh: \( \widehat{ NIH} = \widehat{ NBA}\).

3) Gọi E là giao điểm của AN và IH, F là giao điểm của BN và IK. Chứng minh tứ giác IENF nội tiếp được trong đường tròn.

4) Giả sử O, N, M thẳng hàng. Chứng minh: \( NA^2 + NB^2 = 2R^2 \).

★ HƯỚNG DẪN ★

---------------  HẾT  ------------------

ĐỀ

Bài 1 ( 2 điểm ) Giải phương trình và hệ phương trình sau: 

a) \( x^2 + 3x -10 = 0 \)

b\( \left\{\begin{matrix} x+3y = 6 \\ x - 2y =1    \end{matrix}\right. \)

★ HƯỚNG DẪN ★

Bài 2 ( 1 điểm) Rút gọn biểu thức:

\( M = \cfrac{3 \sqrt{75} - 12\sqrt{3} + \sqrt{12}  }{5  } \)

 Bài 3 ( 2 điểm). Cho hàm số \( y = 2x^2 \) có đồ thị là P.

a) Vẽ đồ thị (P).

b) Tìm tham số m để đường thẳng \( (d): y = mx -2 \) tiếp xúc với (P). 

★ HƯỚNG DẪN ★

Bài 4 (1 điểm)

Một mảnh đất hình chữ nhật có hai lần chiều rộng bé hơn chiều dài 9m và diện tích bằng \(  200m^2 \). Tính chu vi mảnh đất.

★ HƯỚNG DẪN ★

 Bài 5 (4 điểm )

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O ; R), ( AB < AC ). Ba đường cao AE, BF và CK của tam giác ABC cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AD của đường tròn ( O; R). 

a) Chứng minh: tứ giác AKHF nội tiếp.

b) Chứng minh: \( DC //BF \).

c) Chứng minh: \( AB.AC = AE.AD \).

d) Cho \( BC = \cfrac{4\sqrt{2} R  }{ 3} \). Tính theo R diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác HKF. 

★ HƯỚNG DẪN ★

------------------- HẾT ----------------