Bài 1:

1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì \( n^4 + 2015n^2 \) chia hết cho 12.

2) Giải hệ phương trình sau: \( \left\{\begin{matrix}  2x^2 + 3xy+y^2 = 12 \\  x^2 - xy + 3y^2 = 11   \end{matrix}\right. \)

Bài 2:

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: \( 2y^2 + 2xy + x + 3y – 13 = 0 \).

2) Giải phương trình: \( 2 \sqrt[4]{\cfrac{x^2 }{3 } + 4} = 1 + \sqrt{\cfrac{3x }{ 2} } \)

Bài 3: Cho x,y là các số thực không âm. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 

\(  P =\cfrac{ (x^2 - y^2 )(1 - x^2y^2) }{ ( 1 + x^2)^2 (1 + y)^2 } \)

Bài 4: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Kẻ tiếp tuyến chung CD (C, D là tiếp điểm, \( C\in (O), D \in  (O’) \). Đường thẳng qua A song song với CD cắt (O) tại E, (O’) tại F. Gọi M, N theo thứ tự là  giao điểm của BD và BC với EF. Gọi I là giao điểm của EC với FD. Chứng minh rằng:

a) Chứng minh rằng tứ giác BCID nội tiếp.

b) CD là trung trực của đoạn thẳng AI.

c) IA là phân giác góc MIN.

Bài 5: Cho 1010 số tự nhiên phân biệt không vượt qu{ 2015 trong đó không có số nào gấp 2 lần số khác. Chứng minh rằng trong các số được chọn luôn tìm được 3 số sao cho tổng của 2 số bằng số còn lại.

★ HƯỚNG DẪN ★

Bài 1 ( 2 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A= \cfrac{\sqrt{x+6 \sqrt{x-9} } + \sqrt{x-6 \sqrt{x-9}} }{ \sqrt{\cfrac{ 81}{x^2 }-\cfrac{ 18}{x } +1}} \) , với x >9.

b) Tìm x thoả \( \left | 9x -8  \right | + \left | 7x -6 \right | + \left | 5x -4   \right |+ \left |  3x -2 \right |+x = 0 \)

Bài 2 ( 2 điểm)

a) Cho ba số thực dương phân biệt  a, b, c thoả \( a+b+c = 3 \). Xét ba phương trình bậc hai \( 4x^2 + 4ax + b = 0\) , \( 4x^2 +4bx + c = 0 \), \( 4x^2 + 4cx + a = 0 \). Chứng minh rằng trong ba phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm và có ít nhất một phương trình vô nghiệm.

b) Cho hàm số \( y = \cfrac{ }{ } x^2 \) có đồ thị (P) và điểm \( A(2;2)\). Gọi \( d_m \) là đường thẳng qua A có hệ số góc là m. Tìm tất cả các giá trị của m để \( d_m \) cắt đồ thị (P) tại hai điểm A và B, đồng thời cắt trục Ox tại điểm C sao cho \( AB = 3 AC \). 

Bài 3 ( 2 điểm )

a) Giải phương trình \( x^2 - 6(x+ 3 ) \sqrt{x+1}+14x + 3 \sqrt{x+1} + 13 = 0 \)

b) Giải hệ phương trình \( \left\{\begin{matrix}  8xy + 22y +12x +25 = \cfrac{1 }{x^3 } \\  y^3 +3y = (x+5)\sqrt{x+2 }   \end{matrix}\right. \)

Bài 4 ( 1,5 điểm) Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2r lấy điểm C khác A sao cho CA < CB. Hai tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại B, C cắt nhau ở M. Tia AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác MCB tại điểm thứ hai là D. Gọi K là giao điểm thứ hai của BD và nửa đường tròn (O), P là giao điểm của AK và BC. Biết rằng diện tích hai tam giác CPK và APK lần lượt là \( \cfrac{ r^2 \sqrt{3}}{12 } \) và \( \cfrac{r^2 \sqrt{3} }{ 3} \), tính diện tích tứ giác ABKC.

Bài 5 ( 1,5 điểm ) Cho tam giác ABC nhọn ( BA < BC ) nội tiếp trong đường tròn (O). Vẽ đường tròn (Q) đi qua A và C sao cho (Q) cắt các tia đối của tia AB và CB lần lượt tại các điểm thứ hai là D và E. Gọi M là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE. Chứng minh QM vuông góc với BM.

Bài 6 ( 1 điểm) Ba bạn A, B, C cùng chơi một trò chơi: sau khi bạn A chọn 2 số tự nhiên từ 1 đến 9 ( có thể giống nhau), A nói cho B chỉ mổi tổng và nói cho C chỉ mổi tích của hai số đó. Sau đây là các câu đối thoại giữa B và C:

B nói: Tôi không biết hai số A chọn nhưng chắc chắn C cũng không biết.

C nói: mới đầu thì tôi không biết nhưng giờ thì biết hai số A chọn rồi. Hơn nữa, số mà A đọc cho tôi lớn hơn số của bạn.

B nói: À vậy tôi cũng biết hai số A chọn rồi.

Xem B và C là các nhà suy luận logic hoàn hảo, hãy cho biết hai số A chọn là hai số nào?

-----------------  HẾT  ---------------

( tuyển sinh lớp 10 chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng 2019-2020 )

Bài 1 ( 2 điểm )

Cho biểu thức \( P = \cfrac{ \sqrt{x} }{\sqrt{x} +5  } - \cfrac{\sqrt{x}+1 }{ 5 - \sqrt{x} } - \cfrac{5  - 9\sqrt{x}  }{x - 25 } \)

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm tất cả các giá trị của x để P < 1.

Bài 2 ( 2 điểm )

a) Giải phương trình \( x^2 + \cfrac{ 4}{ x^2} -4x + \cfrac{8 }{ x} = 9 \) 

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \( x^2 -2mx + m^2 -m +1 = 0 \) có 2 nghiệm \( x_1; x_2 \) thoả \( x_2^2 -2x_1^2 + 6mx_1 = 19 \).

Bài 3 ( 2 điểm )

Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị của một số có ba chữ số là 14. Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được số mới nhỏ hơn số ban đầu là 396. Tìm số đó biết chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị là 1 đơn vị.

Bài 4 ( 4 điểm )

Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.

b) Gọi I là trung điểm của cạnh BC, K là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh ba điểm I, O, K thẳng hàng.

c) Chứng minh \( AK \perp EF \)

d) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có \( \tan B. \tan C = 3 \) thì \( OH // BC \)

---------------------  HẾT  -----------------------

( tuyển sinh lớp 10 chuyên Trần Hưng Đạo, Bình Thuận 2019-2020 )