Cho đường tròn \( (O; R) \) và \( (O; \cfrac{ R \sqrt{3}}{2 } ) \) đồng tâm. Tiếp tuyến của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại A và B. Tính số đo cung nhỏ AB của đường tròn (O; R).

Cho đường tròn (O; R) và một dây AB sao cho số đo cung lớn AB gấp đôi số cung nhỏ AB. Tính độ dài dây AB.

Cho tam giác ABC đều. Vẽ nửa đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB và AC tại D và E. Chứng minh rằng \( \overset{\frown }{BD} = \overset{\frown }{DE} = \overset{\frown }{EC} \).

Cho dây AB của (O; R). Tính số đo các cung nhỏ và cung lớn AB trong các trường hợp sau.

a) \( AB = R \)

b) \( AB = R \sqrt{2} \)

c) \( AB = R \sqrt{3} \)

Gọi M, N, P, Q là bốn điểm nằm trên đường tròn (O). Các tiếp tuyến ở bốn điểm trên cắt nhau tạo thành tứ giác ABCD. Chứng minh rằng \( \widehat{ AOB} + \widehat{ COD} = 180^0 \).

Cho đường tròn (O; R). Vẽ dây \( AB = R \sqrt{2} \). Tính số đo của hai cung AB.

Cho đường tròn (O; R). Vẽ dây AB sao cho số đo của cung nhỏ AB bằng \( \cfrac{1 }{2 } \) số đo cung lớn AB. Tính diện tích của tam giác AOB.