Bài 1 ( 2 điểm)

Cho hai biểu thức \( A = \cfrac{4 \left (  \sqrt{x} + 1 \right )  }{ 25 -x } \) và \( B = \left ( \cfrac{15 - \sqrt{x}  }{x - 25  } + \cfrac{ 2 }{\sqrt{x} +5  }  \right ) : \cfrac{\sqrt{x}+ 1  }{ \sqrt{x} - 5 } \) với x ≥ 0, x≠ 25.

1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9.

2) Rút gọn biểu thức B.

3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức \( P= A.B \) đạt giá trị nguyên lón nhất.

Bài 2 ( 2,5 điểm )

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 15 ngày thì làm xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ 2 làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu mổi đội làm riêng thì trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?

2) Một bồn nước có dạng hình trụ với chiều cao 1,75m và diện tích đáy là \( 0,32m^2\). Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu khối nước? ( Bỏ qua bề dày của bồn nước )

Bài 3 ( 2 điểm ) 

1) Giải phương trình: \( x^4 - 7x^2 - 18 = 0 \)

2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng \( (d) : y = 2mx -m^2 + 1 \) và parabol \( (P) : y=x^2 \) 

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \( x_1; x_2 \) thoả mãn \( \cfrac{ 1}{ x_1} + \cfrac{1 }{ x_2} = \cfrac{ -2}{ x_1 x_2 } + 1 \).

Bài 4 ( 3 điểm )

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H.

1) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF.

3) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng OA cắt đường thẳng BC tại điểm I, đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P. Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP.

Bài 5 ( 0,5 điểm )

Cho biểu thức \( P = a^4 + b^4 - ab \), với a, b là các số thực thoả mãn \( a^2 + b^2 +ab = 3 \). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P.

-----------------------  HẾT  ---------------------