Bài 1: Cho các biểu thức
\( A = \cfrac{2 \sqrt{x} }{\sqrt{x}+3 } \) và \( B = \left ( \cfrac{ 2}{ \sqrt{x} + 2 } - \cfrac{6 - \sqrt{x} }{ 4 - x } \right ) . \cfrac{\sqrt{x} - 2 }{\sqrt{x}+ 3 } \); với \( x ≥ 0 ; x ≠ 4 \)
a) Tính giá trị biểu thức A khi \( x=9 \)
b) Chứng minh rằng \( B = \cfrac{1 }{ \sqrt{x}+3} \)
c) Cho \( P = A.B\). Tìm giá trị của x để \( P ≤ 0 \).
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể không có nước sau 4 giờ thi bể đầy. Nếu chảy một mình thì vòi 1 chảy đầy bể nhanh hơn vòi 2 là 6 giờ. Hỏi nếu chảy một mình thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu?
Bài 3:
1) Giải hệ phương trình: \( \left\{\begin{matrix} \cfrac{1 }{x-3 } - \cfrac{4 }{ y+1} = 5 \\ \cfrac{3 }{ x-3} + \cfrac{ 4}{y+1 } = -1 \end{matrix}\right. \)
2) Cho parabol (P) : \( y =x^2 \) và đường thẳng \( (d): y = 2 - mx \).
a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \( x_1; x_2 \) thỏa mãn điều kiện
\( x_1^2 x_2 + x_2^2 x_1 = 2020 \)
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (0;R) đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm H trên cạnh AB, AC.
a) Chứng minh rằng tứ giác AMHN nội tiếp được đường tròn.
b) Chứng minh rằng \( AM.AB = AH^2 \). Từ đó chứng minh \( AM.AB = AN.AC \).
c) Hai đường thẳng NM và BC cắt nhau tại Q. Chứng minh \( \widehat{ AMN}= \widehat{ ACB} \) và \( QH^2 = QM.QN \).
d) Cho \( \widehat{ DAC} =60° \) và R = 3cm. Tính diện tích tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung BC nhỏ.
Bài 5: Cho x, y là các số dương thỏa mãn: \( x + y = 3 \) .
Tìm giá trị nhò nhất của biểu thức: \( P = \cfrac{5 }{ x^2 + y^2} + \cfrac{ 3}{xy } \)
----------------------------------- Hết -----------------------------------