Bài 1: Cho biểu thức: \( P = \cfrac{x^2 - \sqrt{x} }{x + \sqrt{x} +1 } - \cfrac{2x+ \sqrt{x} }{ \sqrt{x} } +\cfrac{ 2(x-1)}{ \sqrt{x} -1 } \)
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
c) Xét biểu thức: \( Q = \cfrac{ 2 \sqrt{x}}{ P} \),chứng tỏ \( 0 < Q < 2\).
Bài 2:
a) Không dùng máy tính hãy so sánh: \( \cfrac{2014 }{\sqrt{2015} } + \cfrac{ 2015}{\sqrt{2014} } \) và \( \sqrt{2014} + \sqrt{2015} \) .
b) Tìm x, y, z, biết: \( 4x^2 + 2y^2 + 2z^2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10 ≤ 0 \)
c) Giải phương trình: \( \sqrt{\cfrac{1 }{x + 3 } } + \sqrt{ \cfrac{5 }{ x+4} } = 4\)
Bài 3:
a) Với \( x = \cfrac{(\sqrt{5} + 2 ) \sqrt[3]{ 17\sqrt{15} - 38 } }{\sqrt{5} + \sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} } \). Tính giá trị của biểu thức: \( B =\left ( 3x^3 + 8x^2 -2 \right )^{2015} \)
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) với \( x > 1, y > 1\) sao cho \( (3x+1) \: \vdots \: y \) đồng thời \( (3y + 1) \: \vdots \: x \).
Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng: \( ΔAEF \backsim ΔABC \) ; \( \cfrac{ S_{AEF}}{ S_{ABC}} = \cos^2 A \).
b) Chứng minh rằng: \( S_{DEF} = \left (1 - \cos^2 A - \cos^2 B - \cos^2 C \right ). S_{ABC} \)
c) Cho biết \( AH = k.HD \). Chứng minh rằng: \( \tan B . \tan C = k + 1\).
d. Chứng minh rằng: \( \cfrac{ HA}{ BC} + \cfrac{ HB}{AC } + \cfrac{ HC}{ AB} ≥ \sqrt{3} \)
Bài 5: Cho x, y là các số tự nhiên khác 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\( A = \left | 36^x - 5^y \right | \)
---------------- Hết ----------------