Bài 1:
a) Tính giá trị của đa thức \( f(x) = \left ( x^4 -3x +1 \right )^{2016} \) tại \( x = 9 - \cfrac{1 }{\sqrt{ \cfrac{ 9}{4 } - \sqrt{5}} } + \cfrac{1 }{ \sqrt{ \cfrac{ 9}{ 4} + \sqrt{5} } } \)
b) So sánh: \( \sqrt{ 2017^2 -1 } - \sqrt{2016^2 - 1 } \) và \( \cfrac{ 2.2016}{\sqrt{2017^2 -1 } + \sqrt{2016^2 -1 } } \)
c) Tính giá trị biểu thức: \( \sin x . \cos x + \cfrac{\sin^2 x }{1+\cot x } + \cfrac{ \cos^2 x }{ 1+ \tan x } \) với \( 0^0 < x < 90^0 \)
d) Biết \( \sqrt{5} \) là số vô tỉ, hãy tìm các số nguyên a, b thỏa mãn:
\( \cfrac{2 }{a+b \sqrt{5} } - \cfrac{3 }{ a - b \sqrt{5} } = -9 - 20 \sqrt{5} \)
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) \( \cfrac{ 3}{ x-3} - \cfrac{2 }{x-1 } = \cfrac{ x-1}{2 } - \cfrac{ x -3 }{3 } \)
b) \( x^2 -5x + 8 = 2 \sqrt{x -2 } \)
Bài 3:
a) Cho đa thức \( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 5.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \( x^2 – xy + y^2 – 4 = 0 \)
c) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng \( n^4 + 4^n \) là hợp số.
Bài 4:
a) Chứng minh rằng: \( \cfrac{ a^4 + b^4}{ 2} ≥ ab^3 +a^3 b - a^2 b^2 \)
b) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện \( \cfrac{ 1}{ a+b+1} + \cfrac{ 1}{b+c+1 } + \cfrac{1 }{ c+a+1} = 2 \).
Tìm giá trị lớn nhất của tích \( (a + b)(b + c)(c + a) \).
Bài 5: Cho ΔABC nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt nhau tại H. Gọi chân các đường vuông góc hạ từ D xuống AB, AC lần lượt là E và F
a) Chứng minh rằng: \( AE.AB = AF.AC \)
b) Giả sử \( HD =\cfrac{1 }{ 3} AD \). Chứng minh rằng: \( \tan B . \tan C = 3 \)
c) Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến BI và CK. Chứng minh rằng: 4 điểm E, M, N, F thẳng hàng.
---------------- Hết ----------------