Bài 1: Cho \( P = \left ( 1 - \cfrac{x - 3 \sqrt{x}  }{ x -9 }  \right ) : \left ( \cfrac{ 9-x}{ x - \sqrt{x}  -6 } - \cfrac{ \sqrt{x} - 3 }{ 2 - \sqrt{x} } - \cfrac{\sqrt{x} - 2  }{ \sqrt{x} + 3 }  \right ) \)

1. Rút gọn P.

2. Tìm x để P > 0.

3. Với x > 4, x ≠ 9. Tìm giá trị lớn nhất của \( P.(x + 1) \).

Bài 2:

1. Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho \(  n^2 – 14n – 256 \) là 1 số chính phương.

2. Cho: a > 0, b > 0 và ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\( A = \left ( a+b+1  \right ) \left ( a^2 +b^2   \right ) + \cfrac{ 4}{ a+b } \)

Bài 3: Cho hệ phương trình: \( \left\{\begin{matrix} \sqrt{x} + \sqrt{2012 - y } = \sqrt{2012}  \\  \sqrt{2012-x} + \sqrt{y} = \sqrt{2012}  \end{matrix}\right. \)

1. Chứng minh rằng: x = y

2. Tìm nghiệm của hệ phương trình.

Bài 4: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’ ; R’ ) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’ ). Vẽ dây AM của đường tròn (O) và dây AN của đường tròn (O’) sao cho \( AM \perp AN \). Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O) và (O’) với \( B \in (O)\)  và \(  C \in  (O’) \)

1. Chứng minh \( OM // O’N \).

2. Chứng minh: Ba đường thẳng MN, BC, OO’ đồng qui.

3. Xác định vị trí của M và N để tứ giác MNO’O có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.

Bài 5:

1. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi HA, HB, HC lần lượt là các đường cao và MA, MB, MC lần lượt là trung tuyến của các cạnh BC, CA, AB; R và r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

\( \cfrac{MA }{ HA} + \cfrac{MB }{HB } + \cfrac{ MC}{HC } ≤ \cfrac{R + r  }{r } \)

2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b sao cho: \( a + b^2\) chia hết cho \( a^2b – 1\).

---------------- Hết  ----------------