Bài 1:
a) Tính giá trị biểu thức: \( Q = \cfrac{a^6 -2a^5 +a -2 }{ a^5 + 1 } \)
Biết \( \cfrac{ a}{x+y } = \cfrac{ 5}{ z+z} \) và \( \cfrac{ 25}{ (x+z)^2 } = \cfrac{16 }{ (x-y)(2x+y+z) } \)
b) Cho các số nguyên \( a, b, c ≠ 0 \) thoả mãn: \( \cfrac{1 }{ a} + \cfrac{1 }{ b} + \cfrac{1 }{ c} = \cfrac{ 1}{abc } \)
Chứng minh rằng: \( (1+a^2 )(1+b^2 )(1 + c^2 ) \) là số chính phương.
Bài 2:
a) Giải phương trình: \( \cfrac{x - 241 }{17 } + \cfrac{ x - 220}{19 } + \cfrac{ x - 195 }{ 21} + \cfrac{x - 166 }{23 } = 10 \)
b) Giải phương trình nghiệm nguyên: \( x( x^2 + x + 1) = 4y( y + 1) \)
Bài 3:
a) Cho a, b, c là các số thực dương sao cho \( a ≥ c, b ≥ c \).
Chứng minh rằng \( \sqrt{ c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} ≤ \sqrt{ab} \)
b) Giả sử f(x) là đa thức bậc 4 với hệ số nguyên.
Chứng minh rằng: Nếu \( f(x) \: \vdots \: 7 \) với mọi \( x \in Z \) thì từng hệ số của f(x) cũng chia hết cho 7.
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’; H là trực tâm.
a) Tính tổng \( \cfrac{HA' }{ AA'} + \cfrac{HB' }{ BB'} + \cfrac{HC' }{ CC'} \)
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: \( AN.BI.CM = BN. IC.AM \)
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức \( \cfrac{ \left ( AB +BC + CA \right )^2 }{(AA')^2 + (BB')^2 + (CC')^2 } \) đạt giá trị nhỏ nhất?
Bài 5: Cho hình vuông MNPQ, lấy điểm E thuộc cạnh MQ, điểm F thuộc cạnh NP sao cho\( ME = PF \). Các đường thẳng MF và NE cắt đường thẳng PQ lần lượt tại C và B. Kéo dài MB và NC cắt nhau tại A. Chứng minh rằng tam ABC là tam giác vuông.
---------------- Hết ----------------