💎 KIẾN THỨC
1. Định lí.
Với số a không âm, số b dương, ta có:
\( \sqrt{ \cfrac{ a}{ b} } = \cfrac{\sqrt{a} }{ \sqrt{b} } \)
2. Quy tắc khai phương một thương.
Muốn khai phương một thương \( \cfrac{ a}{ b} \), trong đó số a không âm và số b dương, ta có thể lần lượt khai phương số a và b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ 2.
\( \sqrt{ \cfrac{ a}{ b} } = \cfrac{\sqrt{a} }{ \sqrt{b} } \)
3. Quy tắc chia hai căn bậc hai.
Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số dương b, ta có thể chia số a cho b rồi khai phương kết quả đó.
\( \cfrac{\sqrt{a} }{\sqrt{b} } = \sqrt{\cfrac{ a}{ b} } \)
4. Tổng quát: với biểu thức A không âm, biểu thức B dương, ta có
\( \sqrt{ \cfrac{ A}{B } } = \cfrac{ \sqrt{A} }{ \sqrt{B} } \)
📖 BÀI TẬP CƠ BẢN
📚 Bài tập 1:
a) \( A = \sqrt{ 72} : \sqrt{2} \)
b) \( B = \left ( \sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{3} \right ) : \sqrt{3} \)
c) \( C = \left ( 5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5} \right ) : \sqrt{ 15} \)
★ HƯỚNG DẪN
a) \( A = \sqrt{ 72} : \sqrt{2} \)
\( = \sqrt{72:2} = \sqrt{36} = 6 \)
b) \( B = \left ( \sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{3} \right ) : \sqrt{3} \)
\( = \sqrt{12}: \sqrt{3} - \sqrt{27} : \sqrt{3} + \sqrt{3} : \sqrt{3} \)
\( =\sqrt{12:3} - \sqrt{27:3} + 1 \)
\( = \sqrt{4} - \sqrt{9} + 1 \)
\( = 2 -3 + 1 = 0 \)
c) \( C = \left ( 5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5} \right ) : \sqrt{ 15} \)
\( = \left ( \sqrt{25}. \sqrt{3} + \sqrt{9}.\sqrt{5} \right ) : \sqrt{15} \)
\( = \left (\sqrt{75} + \sqrt{45} \right ) :\sqrt{15} \)
\( = \sqrt{75}:\sqrt{15} + \sqrt{45}: \sqrt{15} \)
\( = \sqrt{75:15} + \sqrt{45:15} \)
\( = \sqrt{5} + \sqrt{3} \)
📚 Bài tập 2:
a) \( A = \cfrac{ \sqrt{9 - 4 \sqrt{5}} }{ 2- \sqrt{5} } \)
b) \( B = \cfrac{ \sqrt{ 3 + \sqrt{5}} }{ \sqrt{2} } \)
★ HƯỚNG DẪN
a) \( A = \cfrac{ \sqrt{9 - 4 \sqrt{5}} }{ 2- \sqrt{5} } \)
\( = \cfrac{ \sqrt{4 - 4 \sqrt{5}+5} }{ 2- \sqrt{5} } \)
\( = \cfrac{ \sqrt{(2-\sqrt{5} )^2 } }{ 2- \sqrt{5} } \)
\( = \cfrac{ \left | 2 - \sqrt{5} \right | }{ 2- \sqrt{5} } \)
\( = \cfrac{ - ( 2- \sqrt{5} )}{ 2- \sqrt{5} } \)
\( = -1 \)
b) \( B = \cfrac{ \sqrt{ 3 + \sqrt{5}} }{ \sqrt{2} } \)
\( = \sqrt{\cfrac{3+\sqrt{5} }{2 }}= \sqrt{ \cfrac{6+2\sqrt{5} }{ 4} } \)
\( = \sqrt{ \cfrac{5+2\sqrt{5} +1 }{ 4} } = \sqrt{ \cfrac{(\sqrt{5}+1)^2 }{ 4} } \)
\( = \cfrac{ \sqrt{ (\sqrt{5}+1)^2 }}{ \sqrt{4} } \)
\( = \cfrac{ \left | \sqrt{5} +1 \right | }{ 2 } = \cfrac{ \sqrt{5}+1 }{2 } \)
📚 Bài tập 3:
a) \( A = \sqrt{ \cfrac{a^2 }{ b} } . \sqrt{ \cfrac{ a^6}{ b^3} } \), với b > 0
b) \( B = b^5 \sqrt{ \cfrac{a^2 +6a + 9 }{ b^8 } } \)
★ HƯỚNG DẪN
a) \( A = \sqrt{ \cfrac{a^2 }{ b} } . \sqrt{ \cfrac{ a^6}{ b^3} } \)
\( = \sqrt{ \cfrac{ a^2. a^6 }{ b.b^3} } \)
\( = \sqrt{ \cfrac{ a^8 }{ b^4} } \)
\( = \cfrac{\sqrt{a^8} }{ \sqrt{b^4} } \)
\( = \cfrac{a^4 }{ b^2 } \)
b) \( B = b^5 \sqrt{ \cfrac{a^2 +6a + 9 }{ b^8 } } \)
📖 BÀI TẬP NÂNG CAO
📚 Bài tập 1:
a) \( A = \cfrac{a-b }{ \sqrt{a} - \sqrt{b} } - \cfrac{ a+b - 2\sqrt{ab} }{ \sqrt{a} - \sqrt{b} } \)
b) \( B = \cfrac{ x + y + 2 \sqrt{xy} }{ x \sqrt{x} -y \sqrt{y} + x\sqrt{y} - y \sqrt{x} } \)
📚 Bài tập 2:
b) Chứng minh rằng với \( a > b > 0 \) luôn có: \( \sqrt{a -b} > \sqrt{a } - \sqrt{b} \)
📚 Bài tập 3:
a) Tìm điều kiện để biểu thức A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức.
c) Tính giá trị biểu thức A khi \( x = \cfrac{53 }{ 9 - 2 \sqrt{7} } \)
📚 Bài tập 4:
a) Tìm x để A có nghĩa.
b) Tìm x để B có nghĩa.
c) Với giá trị nào của x thì \( A = B \).
d) Với giá trị nào của x thì chỉ A có nghĩa, còn B không có nghĩa?
