-
Trang chủ
-
★ CHƯƠNG 1
- ✧ Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
|
☘ Bộ môn: ĐẠI SỐ 9 ☘ Chương 1: CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA |
💎 KIẾN THỨC
1) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn.
Với hai biểu thức A , B mà B ≥ 0, ta có:
\( \sqrt{A^2 B } = \left | A \right | \sqrt{B} \) , với B ≥ 0
- Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì \( \sqrt{A^2 B } = A \sqrt{B} \)
- Với A < 0 và B ≥ 0 thì \( \sqrt{A^2 B } = - A \sqrt{B} \)
2) Đưa thừa số vào trong dấu căn.
- Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì \( A \sqrt{B} =\sqrt{A^2 B } \)
- Với A < 0 và B ≥ 0 thì \( A \sqrt{B} = - \sqrt{A^2 B }\)
3) Khử mẫu của biểu thức lấy căn.
Với các biểu thức A, B mà \( A.B ≥ 0 \) và \( B ≠ 0 \), ta có:
\( \sqrt{ \cfrac{ A}{B } } = \cfrac{\sqrt{AB} }{\left | B \right | } \)
4) Trục căn thứ ờ mẫu:
- Với các biểu thức A, B mà B >0, ta có:
\( \cfrac{ A}{ \sqrt{B} } = \cfrac{ A \sqrt{B} }{B } \)
- Với biểu thức A, B, C mà A ≥ 0 và \( A ≠ B^2 \), ta có:
\( \cfrac{C }{ \sqrt{A} + B } = \cfrac{ C \left ( \sqrt{A} - B \right ) }{A - B^2 } \)
\( \cfrac{C }{ \sqrt{A} - B } = \cfrac{ C \left ( \sqrt{A} + B \right ) }{A - B^2 } \)
- Với biểu thức A, B, C mà \( A ≥ 0 \) và \(A ≥ 0 ; A ≠ B \), ta có:
\( \cfrac{C }{ \sqrt{A} + \sqrt{B} } = \cfrac{ C \left ( \sqrt{A} - \sqrt{B} \right ) }{A - B } \)
\( \cfrac{C }{ \sqrt{A} - \sqrt{B} } = \cfrac{ C \left ( \sqrt{A} +\sqrt{B} \right ) }{A - B } \)
📖 BÀI TẬP CƠ BẢN
📚 Bài tập 1: Viết gọn các biểu thức sau:
a) \( A = \sqrt{ 25. 90} \)
b) \( B = \sqrt{ 75. 54 } \)
a) \( A = \sqrt{ 25. 90} \)
\( = \sqrt{25.9.10} = \sqrt{25}.\sqrt{9}.\sqrt{10} \)
\( =5 . 3 .\sqrt{10} =15\sqrt{10}\)
b) \( B = \sqrt{ 75. 54 } \)
\( = \sqrt{25.3.27.2} =\sqrt{25.81.2} \)
\( = \sqrt{25}.\sqrt{81} .\sqrt{2} \)
\( = 5.9\sqrt{2} \)
\( = 45 \sqrt{2} \)
📚 Bài tập 2: Rút gọn biểu thức sau:
\( A = \cfrac{2 }{ a - 2} . \sqrt{ 2a^8 (a^2 -4a + 4 )} \)
\( A = \cfrac{2 }{ a - 2} . \sqrt{ 2a^8 (a^2 -4a + 4 )} \)
\( = \cfrac{2 }{ a-2} . \sqrt{2} . \sqrt{a^8} . \sqrt{ (a-2)^2} \)
\( = \cfrac{2 }{ a-2} .\sqrt{2}.a^4.\left | a-2 \right | \)
\( = \left [ \begin{matrix} \cfrac{2 }{ a-2} .\sqrt{2}.a^4.( a-2 ), \: nếu \: a -2 >0 \\ - \cfrac{2 }{ a-2} .\sqrt{2}.a^4.( a-2 ) , \: nếu \: a-2 < 0 \end{matrix}\right. \)
\( = \left [ \begin{matrix} 2\sqrt{2}.a^4 , \: nếu \: a >2 \\ - 2 \sqrt{2}.a^4 , \: nếu \: a < 2 \end{matrix}\right. \)
📚 Bài tập 3: Khử mẫu số của các biểu thức dưới dấu căn:
a) \( \sqrt{\cfrac{ 7}{12 } } \)
b) \( \sqrt{ \cfrac{1 }{ a} - \cfrac{ 1}{a^2 } } \) , với a ≥ 1
a) \( \sqrt{\cfrac{ 7}{12 } } \)
\( = \cfrac{\sqrt{7.12} }{ 12} = \cfrac{ \sqrt{7.4.3} }{12 } \)
\( = \cfrac{ 2\sqrt{21} }{ 12}= \cfrac{ \sqrt{21} }{ 6} \)
b) \( \sqrt{ \cfrac{1 }{ a} - \cfrac{ 1}{a^2 } } \)
\( = \sqrt{ \cfrac{a-1 }{ a^2} } = \cfrac{ \sqrt{a-1} }{ \left | a \right | } = \cfrac{\sqrt{a-1} }{a } \) ( do a ≥ 1 )
📚 Bài tập 4: Trục căn thức ở mẫu:
a) \( \cfrac{ a+1 }{\sqrt{a^2 - 1 } } \)
b) \( \cfrac{ \sqrt{ a -1 } +1}{ \sqrt{a-1}-1 } \)
c) \( \cfrac{ a^2 - b^2 }{ \sqrt{a} + \sqrt{b} } \)
d) \( \cfrac{1 - a }{ \sqrt{1 + \sqrt{a} }} \)
a) \( \cfrac{ a+1 }{\sqrt{a^2 - 1 } } \)
\( = \cfrac{(a+1)\sqrt{a^2-1} }{ \sqrt{ (a^2-1)^2 } } \) ( nhân cả tử và mẫu cho cùng \( \sqrt{a^2 -1} \) )
\( = \cfrac{(a+1)\sqrt{a^2 -1 } }{a^2 -1 }= \cfrac{(a+1)\sqrt{a^2 -1 } }{(a+1)(a-1) } = \cfrac{ \sqrt{a^2 -1 } }{ a -1 } \)
b) \( \cfrac{ \sqrt{ a -1 } +1}{ \sqrt{a-1}-1 } \)
\( = \cfrac{(\sqrt{a-1} + 1)( \sqrt{a-1} +1 ) }{\sqrt{ ( a-1)^2 } -1 } \)
\( = \cfrac{ ( \sqrt{a-1} +1 )^2 }{ (a-1)-1 } = \cfrac{ ( \sqrt{a-1} +1 )^2 }{ a-2 } \)
c) \( \cfrac{ a^2 - b^2 }{ \sqrt{a} + \sqrt{b} } \)
\( = \cfrac{ (a+b)(a-b) ( \sqrt{a} - \sqrt{b}) }{ ( \sqrt{a} + \sqrt{b} )(\sqrt{a} - \sqrt{b} ) } \) ( nhân cả tử và mẫu cùng với \( ( \sqrt{a} - \sqrt{b} ) \) )
\( = \cfrac{ (a+b)(a-b) ( \sqrt{a} - \sqrt{b}) }{ \sqrt{a^2 } - \sqrt{b^2} } \)
\( = \cfrac{ (a+b)(a-b) ( \sqrt{a} - \sqrt{b}) }{ a-b } \)
\( = (a + b) ( \sqrt{a} - \sqrt{b}) \)
d) \( \cfrac{1 - a }{ \sqrt{1 + \sqrt{a} }} \)
\( = \cfrac{(1 - a)\sqrt{1 + \sqrt{a} } }{ 1 + \sqrt{a} } \)
\( = \cfrac{(1 - a)\sqrt{1 + \sqrt{a} } (1 - \sqrt{a} ) }{ (1 + \sqrt{a} )(1 - \sqrt{a} ) } \)
\( = \cfrac{(1 - a)\sqrt{1 + \sqrt{a} } (1 - \sqrt{a} ) }{ 1 - a } \)
\( = \sqrt{1 + \sqrt{a} } (1 - \sqrt{a} ) \)
📚 Bài tập 5: Rút gọn biểu thức:
\( A = \cfrac{ 4}{\sqrt{7} -\sqrt{3} } + \cfrac{2 }{ \sqrt{5} + \sqrt{3} } \)
\( A = \cfrac{ 4}{\sqrt{7} -\sqrt{3} } + \cfrac{2 }{ \sqrt{5} + \sqrt{3} } \)
\( = \cfrac{ 4 ( \sqrt{7} +\sqrt{3} )}{( \sqrt{7} -\sqrt{3} )( \sqrt{7} +\sqrt{3} ) } + \cfrac{2( \sqrt{5} - \sqrt{3} ) }{ ( \sqrt{5} + \sqrt{3} )( \sqrt{5} - \sqrt{3} }) \)
\( = \cfrac{ 4( \sqrt{7} +\sqrt{3} )}{\sqrt{7^2} -\sqrt{3^2} } + \cfrac{2( \sqrt{5} - \sqrt{3} ) }{ \sqrt{5^2} - \sqrt{3^2} } \)
\( = \cfrac{ 4( \sqrt{7} +\sqrt{3} )}{7-3 } + \cfrac{2( \sqrt{5} - \sqrt{3} ) }{ 5-3 } \)
\( = \cfrac{ 4( \sqrt{7} +\sqrt{3} )}{4 } + \cfrac{2( \sqrt{5} - \sqrt{3} ) }{ 2} \)
\( = \sqrt{7} +\sqrt{3} + \sqrt{5} - \sqrt{3} \)
\( = \sqrt{7} + \sqrt{5} \)
📚 Bài tập 6: Giải phương trình:
a) \( \sqrt{3x^2} = x \sqrt{3} \)
b) \( \sqrt{a ( 1 -3x)^2 } = ( 3x-1)\sqrt{a} \)
a) \( \sqrt{3x^2} = x \sqrt{3} \)
\( ⇔ \sqrt{3} \left | x \right | = \sqrt{3} x \)
\( ⇔ \left | x \right | = x \)
\( ⇔ x ≥ 0 \)
b) \( \sqrt{a ( 1 -3x)^2 } = ( 3x-1)\sqrt{a} \)
\( ⇔ \sqrt{a} \left | 1 -3x \right | = - \sqrt{a} (1 -3x ) \)
\( ⇔ \left | 1 -3x \right | = - (1 -3x ) \)
\( ⇔ 1-3x ≤ 0 \)
\( ⇔ -3x ≤ -1 \)
\( ⇔ x ≥ \cfrac{1 }{ 3} \)
📖 BÀI TẬP NÂNG CAO
📚 Bài tập 1: Chứng minh rằng:
\( \cfrac{ a - b}{ b^2 } \sqrt{ \cfrac{a^2 b^4 }{a^2 -2ab + b^2 } } = \left | a \right | \), với a > b
📚 Bài tập 2: Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn: \( \cfrac{ a}{ b} = \cfrac{ c}{ d} \). Hãy trục căn thức ở mẫu thức:
\( P = \cfrac{1 }{ \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + \sqrt{c} } \)
📚 Bài tập 3: Chứng minh rằng:
\( \cfrac{ a \sqrt{a} + b \sqrt{ b} }{ \sqrt{a} + \sqrt{b} } - \sqrt{ab} = \left ( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right )^2 \), với a, b > 0
📚 Bài tập 4: Giải các phương trình sau:
a) \( \cfrac{1 }{ \sqrt{x^2+1} +x } - \cfrac{1 }{ \sqrt{x^2+1}-x } + 2 = 0 \)
b) \( 2x -5a \sqrt{x-a} + 2a^2 -2a = 0 \) , với a > 0.