-
Trang chủ
- 🍰 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TRÒN
📖 BÀI TẬP CƠ BẢN
📚 Bài tập 1: Cho ΔABC cân tại A có đường cao AH; nội tiếp đường tròn tâm (O) đường kính AD.
1) Vẽ đường kính CE. Tứ giác ABCD là hình gì?
2) Kẻ \( AK \perp CE \). Chứng minh tứ giác ACHK là hình thang cân.
3) Biết cạnh BC = 6cm, AH = 4cm.
a) Tính bán kính của (O).
b) Quay ΔABC một vòng quanh trục AH. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ sinh ra.
📚 Bài tập 2: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn tâm O đường kính AH cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E và F.
1) Chứng minh:
a) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b) \( AE.AB = AF.AC = BH.HC \)
c) Tứ giác BEFC nội tiếp.
d) Ba điểm F, O, E thẳng hàng.
2) Đường thẳng A vuông góc với EF cắt cạnh BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của cạnh BC.
3) Biết \( AB = 3 cm; BC = 5cm \). Tính diện tích tứ giác \( BEFC \).
📚 Bài tập 3: Cho hình vuông ABCD. Gọi N là một điểm bất kì trên cạnh CD. Đường chéo AC cắt BN tại E và cắt đường tròn (O) đường kính BN tại F; BF cắt AD tại M; MN cắt (O) tại P; ME và NF cắt nhau tại Q.
1) Chứng minh:
a) Tam giác BFN vuông cân.
b) Ba điểm B; Q; P thẳng hàng.
c) ΔFPE là tam giác vuông.
d) \( ME //PC \) và \( BP = BC \).
2) Tìm tất cả các tứ giác nội tiếp có trong hình đã cho.
📚 Bài tập 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O ; R), ( AB < AC ). Ba đường cao AE, BF và CK của tam giác ABC cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AD của đường tròn ( O; R).
a) Chứng minh: tứ giác AKHF nội tiếp.
b) Chứng minh: \( DC //BF \).
c) Chứng minh: \( AB.AC = AE.AD \). d) Cho \( BC = \cfrac{4\sqrt{2} R }{ 3} \). Tính theo R diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác HKF.
📚 Bài tập 5: Cho đường tròn (O;R). Từ một điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O;R) sao cho OM = 2R, vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) ( A, B là hai tiếp điểm ). Lấy một điểm N tuỳ ý trên cung nhỏ AB. Gọi I, H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N trên AB, AM, BM.
1) Tính diện tích tứ giác MAOB theo R.
2) Chứng minh: \( \widehat{ NIH} = \widehat{ NBA}\).
3) Gọi E là giao điểm của AN và IH, F là giao điểm của BN và IK. Chứng minh tứ giác IENF nội tiếp được trong đường tròn.
4) Giả sử O, N, M thẳng hàng. Chứng minh: \( NA^2 + NB^2 = 2R^2 \).
📚 Bài tập 6: Cho đường tròn (O), đường kính AB và C là điểm nằm trên đoạn thẳng OB ( với C ≠ B ). Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Gọi K là giao điểm thứ hai của BD với đường tròn đường kính BC.
a) Chứng minh tứ giác DHCK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh CE song song với AD và ba điểm E, C, K thẳng hàng.
c) Đường thẳng qua K vuông góc với DE cắt đường tròn (O) tại 2 điểm M và N ( M thuộc cung nhỏ AD ). Chứng minh rằng \( EM^2 + DN^2 = AB^2 \).
📚 Bài tập 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE, CFcua3 tam giác ABC cắt nhau tại điểm H.
1) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF.
3) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng OA cắt đường thẳng BC tại điểm I, đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P. Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP.
📚 Bài tập 8: Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính BC. Từ điểm A thuộc (O), dựng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa điểm C. Gọi F là giao điểm của AE và (O). Gọi K là giao điểm của CF và ED.
a) Chứng minh rằng 4 điểm E, B, F, K nằm trên một đường tròn.
b) BK là tiếp tuyến của (O).
c) Khi AC = R. Tính theo R phần diện tích của phần nửa hình tròn (O) nằm bên trong hình vuông ABED.
📚 Bài tập 9: Từ điểm S ở ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB đến (O) với A, B là các tiếp điểm. Trên dây cung AB lấy điểm P và vẽ qua P một đường thẳng d vuông góc OP, đường thẳng này cắt SA tại E và SB tại D.
a) Chứng minh: tứ giác OBDP, OPAE nội tiếp.
b) Chứng minh: ΔODE cân.
c) Chứng minh: tứ giác ODSE nội tiếp.
d) Biết \( AB = R \sqrt{3} \) và \( OP = \cfrac{2R }{3 } \)
📚 Bài tập 10: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại E và D.
a) Chứng minh \( AD.AC = AE.AB \).
b) Gọi H là giao điểm của BD và CE, gọi K là giao điểm của AH và BC. Chứng minh AH vuông góc với BC.
c) Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) với M, N là các tiếp điểm. Chứng minh \( \widehat{ ANM } = \widehat{ AKN} \). d) Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.
📚 Bài tập 11: Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D.
a) Chứng minh \( MA^2 = MC . MD\).
b) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh rằng 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường tròn.
c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn. Suy ra AB là đường phân giác của góc CHD.
d) Gọi K là giao điếm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh A, B, K thẳng hàng.
📚 Bài tập 12: Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và E là điểm bất kì trên đường tròn đó (E khác A và B). Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thắng AB tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K.
a) Chứng minh tam giác KAF đồng dạng với tam giác KEA.
b) Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF với OE, chứng minh đường tròn (I) bán kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F.
c) Chứng minh \( MN // AB\), trong đó M và N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE, BE với đường tròn (I).
d) Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên đường tròn (O), với P là giao điểm của NF và AK; Q là giao điểm của MF và BK.
📚 Bài tập 13: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên cạnh AB lấy điểm N (N khác A và B), trên cạnh AC lấy điểm M sao cho \( BN = AM \). Gọi P là giao điểm của BM và CN.
a) Chứng minh \( Δ BNC = Δ AMB\).
b) Chúng minh rằng \( AMPN \) là một tứ giác nội tiếp.
c) Tìm quỹ tích các điểm P khi N di động trên cạnh AB.
📚 Bài tập 14: Cho đường tròn (O), từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Kẻ dây CD//AB. Nối AD cắt đường tròn (O) tại E.
1. Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
2. Chứng tỏ \( AB^2 = AE. AD \).
3. Chứng minh: \( \widehat{ AOC} = \widehat{ ACB} \) và ΔBDC cân.
4. CE kéo dài cắt AB ở I. Chứng minh: IA=IB.
📚 Bài tập 15: Cho ΔABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4 (cùng đơn vị độ dài), nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AA’.
1. Tính bán kính của (O).
2. Kẻ đường kính CC’. Tứ giác ACA’C’ là hình gì?
3. Kẻ \( AK \perp CC’ \). C/m AKHC là hình thang cân.
4. Quay ?ABC một vòng quanh trục AH. Tính diện tích xung quanh của hình được tạo ra.