Cho ΔABC cân tại A có đường cao AH; nội tiếp đường tròn tâm (O) đường kính AD.

1) Vẽ đường kính CE. Tứ giác ABCD là hình gì?

2) Kẻ \( AK \perp CE \). Chứng minh tứ giác ACHK là hình thang cân.

3) Biết cạnh BC = 6cm, AH = 4cm.

a) Tính bán kính của (O).

b) Quay ΔABC một vòng quanh trục AH. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ sinh ra.

Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn tâm O đường kính AH cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E và F.

1) Chứng minh:

a) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

b) \( AE.AB = AF.AC = BH.HC \)

c) Tứ giác BEFC nội tiếp.

d) Ba điểm F, O, E thẳng hàng.

2) Đường thẳng A vuông góc với EF cắt cạnh BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của cạnh BC.

3) Biết \( AB = 3 cm; BC = 5cm \). Tính diện tích tứ giác \( BEFC \).

Cho hình vuông ABCD. Gọi N là một điểm bất kì trên cạnh CD. Đường chéo AC cắt BN tại E và cắt đường tròn (O) đường kính BN tại F; BF cắt AD tại M; MN cắt (O) tại P; ME và NF cắt nhau tại Q.

1) Chứng minh:

a) Tam giác BFN vuông cân.

b) Ba điểm B; Q; P thẳng hàng.

c) ΔFPE là tam giác vuông.

d) \( ME //PC \) và \( BP = BC \).

2) Tìm tất cả các tứ giác nội tiếp có trong hình đã cho.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O ; R), ( AB < AC ). Ba đường cao AE, BF và CK của tam giác ABC cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AD của đường tròn ( O; R).

a) Chứng minh: tứ giác AKHF nội tiếp.

b) Chứng minh: \( DC //BF \).

c) Chứng minh: \( AB.AC = AE.AD \). d) Cho \( BC = \cfrac{4\sqrt{2} R }{ 3} \). Tính theo R diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác HKF.

Cho đường tròn (O;R). Từ một điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O;R) sao cho OM = 2R, vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) ( A, B là hai tiếp điểm ). Lấy một điểm N tuỳ ý trên cung nhỏ AB. Gọi I, H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N trên AB, AM, BM.

1) Tính diện tích tứ giác MAOB theo R.

2) Chứng minh: \( \widehat{ NIH} = \widehat{ NBA}\).

3) Gọi E là giao điểm của AN và IH, F là giao điểm của BN và IK. Chứng minh tứ giác IENF nội tiếp được trong đường tròn.

4) Giả sử O, N, M thẳng hàng. Chứng minh: \( NA^2 + NB^2 = 2R^2 \).

Cho đường tròn (O), đường kính AB và C là điểm nằm trên đoạn thẳng OB ( với C ≠ B ). Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Gọi K là giao điểm thứ hai của BD với đường tròn đường kính BC.

a) Chứng minh tứ giác DHCK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh CE song song với AD và ba điểm E, C, K thẳng hàng.

c) Đường thẳng qua K vuông góc với DE cắt đường tròn (O) tại 2 điểm M và N ( M thuộc cung nhỏ AD ). Chứng minh rằng \( EM^2 + DN^2 = AB^2 \).

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE, CFcua3 tam giác ABC cắt nhau tại điểm H.

1) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF.

3) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng OA cắt đường thẳng BC tại điểm I, đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P. Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP.

Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính BC. Từ điểm A thuộc (O), dựng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa điểm C. Gọi F là giao điểm của AE và (O). Gọi K là giao điểm của CF và ED.

a) Chứng minh rằng 4 điểm E, B, F, K nằm trên một đường tròn.

b) BK là tiếp tuyến của (O).

c) Khi AC = R. Tính theo R phần diện tích của phần nửa hình tròn (O) nằm bên trong hình vuông ABED.

Từ điểm S ở ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB đến (O) với A, B là các tiếp điểm. Trên dây cung AB lấy điểm P và vẽ qua P một đường thẳng d vuông góc OP, đường thẳng này cắt SA tại E và SB tại D.

a) Chứng minh: tứ giác OBDP, OPAE nội tiếp.

b) Chứng minh: ΔODE cân.

c) Chứng minh: tứ giác ODSE nội tiếp.

d) Biết \( AB = R \sqrt{3} \) và \( OP = \cfrac{2R }{3 } \)