Tính

1) \( A = \left ( \ \sqrt{5} - 2 \sqrt{3} \right ). \sqrt{5}  \)

2) \( B = (\sqrt{12} - 2 \sqrt{18} ).\cfrac{ \sqrt{2}}{2 }  \)

3) \( C = \left ( \sqrt{27} - \sqrt{ 12} + 2\sqrt{6}   \right ) : 3 \sqrt{3} \)

4) \( D = \left ( \cfrac{ 1-\sqrt{2} }{ 1+ \sqrt{2}} - \cfrac{1+ \sqrt{2}  }{ 1- \sqrt{2} }  \right ) : \sqrt{72} \)

5) \( E = \left (  3\sqrt{5} - 2 \sqrt{3} \right ) \sqrt{5} + \sqrt{60} \)

6) \( F = \left (\sqrt{28} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{7}   \right ) .\sqrt{7} + \sqrt{84} \)

7) \( G = \left ( \sqrt{6} + \sqrt{5}  \right )^2 - \sqrt{120} \)

8) \( H =\left (  \sqrt{14} - 3 \sqrt{2}\right )^2 + 6 \sqrt{28}  \)

1) \( A = \left ( \ \sqrt{5} - 2 \sqrt{3} \right ). \sqrt{5}  \)

\( = \sqrt{5^2} - 2 \sqrt{3.5} = 5 - 2 \sqrt{15}   \)


2) \( B = (\sqrt{12} - 2 \sqrt{18} ).\cfrac{ \sqrt{2}}{2 }  \)

\(  = \cfrac{\sqrt{24} }{2 } - \cfrac{ 2.\sqrt{36}}{2 } = \sqrt{6} - 6 \)


3) \( C = \left ( \sqrt{27} - \sqrt{ 12} + 2\sqrt{6}   \right ) : 3 \sqrt{3} \)

\( = \sqrt{27}: 3 \sqrt{3} - \sqrt{12}: 3\sqrt{3} + 2 \sqrt{6} : 3 \sqrt{3} \)

\( = 1 - \cfrac{2 }{3 } + \cfrac{2 \sqrt{2} }{3 } = \cfrac{1+2 \sqrt{2} }{3 } \)


4) \( D = \left ( \cfrac{ 1-\sqrt{2} }{ 1+ \sqrt{2}} - \cfrac{1+ \sqrt{2}  }{ 1- \sqrt{2} }  \right ) : \sqrt{72} \)

5) \( E = \left (  3\sqrt{5} - 2 \sqrt{3} \right ) \sqrt{5} + \sqrt{60} \)

6) \( F = \left (\sqrt{28} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{7}   \right ) .\sqrt{7} + \sqrt{84} \)

7) \( G = \left ( \sqrt{6} + \sqrt{5}  \right )^2 - \sqrt{120} \)

8) \( H =\left (  \sqrt{14} - 3 \sqrt{2}\right )^2 + 6 \sqrt{28}  \)

Rút gọn các biểu thức sau:

1) \( A = \left (  1 + \cfrac{a - \sqrt{a}  }{\sqrt{a} - 1  } \right ) \left ( 1 - \cfrac{a + 2\sqrt{a}  }{ 2 + \sqrt{a} }   \right ) \)

2) \( B = \left (  \cfrac{a - \sqrt{a}  }{\sqrt{a}-1  } + 2\right ) \left ( 2 - \cfrac{\sqrt{a} +a  }{1 + \sqrt{a}  }   \right ) \)

3) \( C =\left ( \cfrac{a\sqrt{a} +b \sqrt{b} }{ \sqrt{a}+\sqrt{b} } - \sqrt{ab} \right ) \left (  \cfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}  }{ a - b } \right )^2   \)

4) \( D = \cfrac{\sqrt{a} }{ \sqrt{a} - \sqrt{b} } - \cfrac{ \sqrt{b} }{\sqrt{a} +\sqrt{b}  }  - \cfrac{2b }{ a-b}  \)

Cho hai biểu thức:

\( A = \cfrac{\left (  \sqrt{x} - \sqrt{y} \right )^2 +4\sqrt{xy} }{\sqrt{x}+\sqrt{y}  } \) và \( B =  \cfrac{ x \sqrt{y} - y \sqrt{x} }{ \sqrt{xy} } \)  ( với x>0 ; y > 0 \)

a) Rút gọn A và B.

b) Tính \( A.B \)  với \( x = 2\sqrt{3} , y = \sqrt{3} \)

a) Rút gọn:

\( A = \cfrac{\left (  \sqrt{x} - \sqrt{y} \right )^2 +4\sqrt{xy} }{\sqrt{x}+\sqrt{y}  } \)

\( = \cfrac{ x - 2 \sqrt{xy} + y +4\sqrt{xy} }{ \sqrt{x}+\sqrt{y}  } \)

\( = \cfrac{ ( \sqrt{x} + \sqrt{y})^2  }{ \sqrt{x}+\sqrt{y}   } \)

\( = \sqrt{x} + \sqrt{y} \)

\( B =  \cfrac{ x \sqrt{y} - y \sqrt{x} }{ \sqrt{xy} } \) 

\( = \cfrac{\sqrt{xy} ( \sqrt{x} - \sqrt{y} ) }{\sqrt{xy}  } \)

\( = \sqrt{x} - \sqrt{y} \)


b)\( A.B = \left ( \sqrt{x}+ \sqrt{y}  \right ). \left ( \sqrt{x} - \sqrt{y}  \right ) \)

\( = x - y \)

Thay \( x = 2\sqrt{3} , y = \sqrt{3} \) vào \( A.B\) ta được:

\( A.B = 2 \sqrt{3} . \sqrt{3} = 2.3 = 6 \)

 

Cho biểu thức:

\( M = \cfrac{ (x-3)^2 + 3x -7 }{x^2 - 4 } \),  \( ( x ≠ ± 2) \)

a) Rút gọn M.

b) Với giá trị nào của x thì \( M = \cfrac{1 }{3 } \).

a) Rút gọn:

\( M = \cfrac{ (x-3)^2 + 3x -7 }{x^2 - 4 } \)

\( = \cfrac{ x^2 -6x +9 +3x - 7 }{ (x+2)(x-2)} \)

\( = \cfrac{x^2 -3x +2  }{(x+2)(x-2) } \)

\( = \cfrac{x^2 - x  -2x +2  }{(x+2)(x-2) } \)

\( = \cfrac{x(x -1) -2(x -1 )  }{(x+2)(x-2) } \)

\( = \cfrac{(x-1)(x-2)  }{(x+2)(x-2) } \)

\( = \cfrac{x-1 }{x+2 } \)

b) \( M = \cfrac{1 }{3 } \)

\( \Leftrightarrow  \cfrac{ x-1}{x+2 } = \cfrac{ 1}{3 } \)

\( \Leftrightarrow  3(x-1) = x+2 \)

\( \Leftrightarrow  3x-3 = x+2 \)

\( \Leftrightarrow  3x-x = 2 + 3 \)

\( \Leftrightarrow  2x = 5 \)

\( \Leftrightarrow  x = \cfrac{ 5}{ 2} \)

Vậy khi \( x = \cfrac{5 }{ 2} \) thì \( M = \cfrac{1 }{3 } \)

Rút gọn: \( P = \cfrac{x^2 - \sqrt{2}  }{ x^4 + ( \sqrt{3} - \sqrt{2} ) x^2 - \sqrt{6} } \),  \( ( x^2 ≠ \sqrt{2} ) \)

Tìm giá trị của x để P lớn nhất và tìm giá trị đó.

\( P = \cfrac{x^2 - \sqrt{2}  }{ x^4 + ( \sqrt{3} - \sqrt{2} ) x^2 - \sqrt{6} } \)

\( = \cfrac{x^2 - \sqrt{2}  }{ x^4 + \sqrt{3} x^2 - \sqrt{2}  x^2 - \sqrt{6} } \)

\(  = \cfrac{x^2 - \sqrt{2}  }{ x^2(x^2 + \sqrt{3} ) - \sqrt{2}( x^2 - \sqrt{3} )} \)

\(  = \cfrac{x^2 - \sqrt{2}  }{ (x^2 - \sqrt{2} ) ( x^2 + \sqrt{3})} \)

\( = \cfrac{1 }{x^2 +\sqrt{3}  } \)

\( P_{max} \Leftrightarrow  ( x^2 + \sqrt{3} )_{min} \)

Mà: \( x^2 + \sqrt{3} ≥ \sqrt{3} \) với mọi x

Nên: \( (x^2 + \sqrt{3})_{min} \Leftrightarrow  x = 0 \)

Vậy \( P_{max} \Leftrightarrow  x = 0 \)

Rút gọn biểu thức:

a) \( A = \sqrt{7 - 4 \sqrt{3} } - \sqrt{7 +4 \sqrt{3} } \)

b) \( B = \left ( \cfrac{ \sqrt{x}+1}{ x-4} +\cfrac{ \sqrt{x} -1 }{ x+ 4\sqrt{x} + 4 }  \right ) . \cfrac{ x \sqrt{x} +2x - 4 \sqrt{x} -8 }{ \sqrt{x}} \) ,  với x > 0 , x ≠ 4

Đs: \( A = -2\sqrt{3} , B = 6 \)

Cho biểu thức:

\( P = \left ( \cfrac{ 1}{\sqrt{x} } + \cfrac{\sqrt{x} }{\sqrt{x}+1 }   \right ) : \cfrac{\sqrt{x} }{x+\sqrt{x} } \), với x > 0

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm giá trị của P khi x = 4.

c) Tìm x để \( P = \cfrac{13 }{ 3} \)

Đs:

a) \( P= \sqrt{x}+1 + \cfrac{ 1}{ \sqrt{x}} \)

b) \( P = \cfrac{7 }{ 2} \)

c) \( \left [ \begin{matrix} x = \cfrac{ 1}{ 9}  \\  x = 9  \end{matrix}\right. \)

Rút gọn biểu thức:

a) \( A = \left ( 2 \sqrt{4+ \sqrt{6-2\sqrt{5}}}  \right ) .\left ( \sqrt{10} - \sqrt{2}  \right ) \)

b) \( B = \left (  \cfrac{\sqrt{a} -1 }{\sqrt{a}+1 } + \cfrac{ \sqrt{a}+1 }{ \sqrt{a}-1 } \right ) .\left ( 1 - \cfrac{ 2}{a+1 }  \right )^2 \), với a > 0, a ≠ 1

ĐS:

a) \( A = 8 \)

b) \( B = \cfrac{ 2(a - 1 )}{a+1 } \)

Cho \( A = \left (  \cfrac{ 1}{x-\sqrt{x}  } + \cfrac{1 }{ \sqrt{x} -1 } \right ) : \cfrac{ \sqrt{x}+1 }{ (\sqrt{x} -1 )^2 } \)

a) Tìm  điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị của x để \( A = \cfrac{ 1}{3 } \)

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = A - 9 \sqrt{x} \)

ĐS:

a) \( A = \cfrac{ \sqrt{x} -1 }{\sqrt{x} } \)

b) \( x = \cfrac{9 }{ 4} \)

c) \( P_{max} = 1 \) khi \( x = \cfrac{1 }{97 } \)